Theorem brtposg 5788

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brtposg	⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A⟩𝐹𝐶))

Proof of Theorem brtposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opswapg 4732	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨A, B⟩} = ⟨B, A⟩)
2	1	breq1d 3747	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → (∪ ◡{⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A⟩𝐹𝐶))
3	2	3adant3 912	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∪ ◡{⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A⟩𝐹𝐶))
4	3	anbi2d 440	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((⟨A, B⟩ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{⟨A, B⟩}𝐹𝐶) ↔ (⟨A, B⟩ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ⟨B, A⟩𝐹𝐶)))
5		brtpos2 5785	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B⟩ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
6	5	3ad2ant3 915	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B⟩ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
7		opexg 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ 𝑊 ∧ A ∈ 𝑉) → ⟨B, A⟩ ∈ V)
8	7	ancoms 255	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → ⟨B, A⟩ ∈ V)
9	8	anim1i 323	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨B, A⟩ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
10	9	3impa 1085	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨B, A⟩ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
11		breldmg 4466	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨B, A⟩ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ ⟨B, A⟩𝐹𝐶) → ⟨B, A⟩ ∈ dom 𝐹)
12	11	3expia 1092	. . . . . 6 ⊢ ((⟨B, A⟩ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨B, A⟩𝐹𝐶 → ⟨B, A⟩ ∈ dom 𝐹))
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨B, A⟩𝐹𝐶 → ⟨B, A⟩ ∈ dom 𝐹))
14		opelcnvg 4440	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡dom 𝐹 ↔ ⟨B, A⟩ ∈ dom 𝐹))
15	14	3adant3 912	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡dom 𝐹 ↔ ⟨B, A⟩ ∈ dom 𝐹))
16	13, 15	sylibrd 158	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨B, A⟩𝐹𝐶 → ⟨A, B⟩ ∈ ◡dom 𝐹))
17		elun1 3086	. . . 4 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ◡dom 𝐹 → ⟨A, B⟩ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}))
18	16, 17	syl6 29	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨B, A⟩𝐹𝐶 → ⟨A, B⟩ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅})))
19	18	pm4.71rd 374	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨B, A⟩𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B⟩ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ⟨B, A⟩𝐹𝐶)))
20	4, 6, 19	3bitr4d 209	1 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A⟩𝐹𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 873   ∈ wcel 1375  Vcvv 2534   ∪ cun 2891  ∅c0 3200  {csn 3349  ⟨cop 3352  ∪ cuni 3553   class class class wbr 3737  ^◡ccnv 4269  dom cdm 4270  tpos ctpos 5778

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1364  ax-ie2 1365  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-13 1386  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2005  ax-sep 3848  ax-pow 3900  ax-pr 3917  ax-un 4118

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1629  df-eu 1886  df-mo 1887  df-clab 2010  df-cleq 2016  df-clel 2019  df-nfc 2150  df-ral 2288  df-rex 2289  df-rab 2292  df-v 2536  df-sbc 2741  df-un 2898  df-in 2900  df-ss 2907  df-pw 3335  df-sn 3355  df-pr 3356  df-op 3358  df-uni 3554  df-br 3738  df-opab 3792  df-mpt 3793  df-id 4003  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-iota 4792  df-fun 4829  df-fn 4830  df-fv 4835  df-tpos 5779

This theorem is referenced by:  ottposg  5789  dmtpos  5790  rntpos  5791  ovtposg  5793  dftpos3  5796  tpostpos  5798