ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg Structured version   GIF version

Theorem brtposg 5788
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 4732 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊) → {⟨A, B⟩} = ⟨B, A⟩)
21breq1d 3747 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
323adant3 912 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
43anbi2d 440 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ((⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶) ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
5 brtpos2 5785 . . 3 (𝐶 𝑋 → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
653ad2ant3 915 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
7 opexg 3937 . . . . . . . . 9 ((B 𝑊 A 𝑉) → ⟨B, A V)
87ancoms 255 . . . . . . . 8 ((A 𝑉 B 𝑊) → ⟨B, A V)
98anim1i 323 . . . . . . 7 (((A 𝑉 B 𝑊) 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
1093impa 1085 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
11 breldmg 4466 . . . . . . 7 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋 B, A𝐹𝐶) → ⟨B, A dom 𝐹)
12113expia 1092 . . . . . 6 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
1310, 12syl 14 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
14 opelcnvg 4440 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
15143adant3 912 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
1613, 15sylibrd 158 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B dom 𝐹))
17 elun1 3086 . . . 4 (⟨A, B dom 𝐹 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}))
1816, 17syl6 29 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅})))
1918pm4.71rd 374 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
204, 6, 193bitr4d 209 1 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873   wcel 1375  Vcvv 2534  cun 2891  c0 3200  {csn 3349  cop 3352   cuni 3553   class class class wbr 3737  ccnv 4269  dom cdm 4270  tpos ctpos 5778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1364  ax-ie2 1365  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-13 1386  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2005  ax-sep 3848  ax-pow 3900  ax-pr 3917  ax-un 4118
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1629  df-eu 1886  df-mo 1887  df-clab 2010  df-cleq 2016  df-clel 2019  df-nfc 2150  df-ral 2288  df-rex 2289  df-rab 2292  df-v 2536  df-sbc 2741  df-un 2898  df-in 2900  df-ss 2907  df-pw 3335  df-sn 3355  df-pr 3356  df-op 3358  df-uni 3554  df-br 3738  df-opab 3792  df-mpt 3793  df-id 4003  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-iota 4792  df-fun 4829  df-fn 4830  df-fv 4835  df-tpos 5779
This theorem is referenced by:  ottposg  5789  dmtpos  5790  rntpos  5791  ovtposg  5793  dftpos3  5796  tpostpos  5798
  Copyright terms: Public domain W3C validator