Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg Structured version   GIF version

Theorem brtposg 5757
 Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 4701 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊) → {⟨A, B⟩} = ⟨B, A⟩)
21breq1d 3726 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
323adant3 914 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
43anbi2d 440 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ((⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶) ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
5 brtpos2 5754 . . 3 (𝐶 𝑋 → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
653ad2ant3 917 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
7 opexg 3916 . . . . . . . . 9 ((B 𝑊 A 𝑉) → ⟨B, A V)
87ancoms 255 . . . . . . . 8 ((A 𝑉 B 𝑊) → ⟨B, A V)
98anim1i 323 . . . . . . 7 (((A 𝑉 B 𝑊) 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
1093impa 1087 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
11 breldmg 4434 . . . . . . 7 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋 B, A𝐹𝐶) → ⟨B, A dom 𝐹)
12113expia 1094 . . . . . 6 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
1310, 12syl 14 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
14 opelcnvg 4408 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
15143adant3 914 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
1613, 15sylibrd 158 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B dom 𝐹))
17 elun1 3088 . . . 4 (⟨A, B dom 𝐹 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}))
1816, 17syl6 29 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅})))
1918pm4.71rd 374 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
204, 6, 193bitr4d 209 1 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 875   ∈ wcel 1375  Vcvv 2533   ∪ cun 2893  ∅c0 3202  {csn 3327  ⟨cop 3330  ∪ cuni 3532   class class class wbr 3716  ◡ccnv 4237  dom cdm 4238  tpos ctpos 5747 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1315  ax-7 1316  ax-gen 1317  ax-ie1 1362  ax-ie2 1363  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-13 1386  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2004  ax-sep 3827  ax-pow 3879  ax-pr 3896  ax-un 4093 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 877  df-tru 1231  df-nf 1329  df-sb 1628  df-eu 1884  df-mo 1885  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2287  df-rex 2288  df-rab 2291  df-v 2535  df-sbc 2740  df-un 2900  df-in 2902  df-ss 2909  df-pw 3313  df-sn 3333  df-pr 3334  df-op 3336  df-uni 3533  df-br 3717  df-opab 3771  df-mpt 3772  df-id 3983  df-xp 4244  df-rel 4245  df-cnv 4246  df-co 4247  df-dm 4248  df-rn 4249  df-res 4250  df-ima 4251  df-iota 4761  df-fun 4798  df-fn 4799  df-fv 4804  df-tpos 5748 This theorem is referenced by:  ottposg  5758  dmtpos  5759  rntpos  5760  ovtposg  5762  dftpos3  5765  tpostpos  5767
 Copyright terms: Public domain W3C validator