ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg Structured version   GIF version

Theorem brtposg 5789
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 4732 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊) → {⟨A, B⟩} = ⟨B, A⟩)
21breq1d 3746 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
323adant3 912 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
43anbi2d 440 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ((⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶) ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
5 brtpos2 5786 . . 3 (𝐶 𝑋 → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
653ad2ant3 915 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
7 opexg 3936 . . . . . . . . 9 ((B 𝑊 A 𝑉) → ⟨B, A V)
87ancoms 255 . . . . . . . 8 ((A 𝑉 B 𝑊) → ⟨B, A V)
98anim1i 323 . . . . . . 7 (((A 𝑉 B 𝑊) 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
1093impa 1085 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
11 breldmg 4466 . . . . . . 7 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋 B, A𝐹𝐶) → ⟨B, A dom 𝐹)
12113expia 1092 . . . . . 6 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
1310, 12syl 14 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
14 opelcnvg 4440 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
15143adant3 912 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
1613, 15sylibrd 158 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B dom 𝐹))
17 elun1 3085 . . . 4 (⟨A, B dom 𝐹 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}))
1816, 17syl6 29 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅})))
1918pm4.71rd 374 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
204, 6, 193bitr4d 209 1 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873   wcel 1374  Vcvv 2533  cun 2890  c0 3199  {csn 3348  cop 3351   cuni 3552   class class class wbr 3736  ccnv 4269  dom cdm 4270  tpos ctpos 5779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3847  ax-pow 3899  ax-pr 3916  ax-un 4118
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2287  df-rex 2288  df-rab 2291  df-v 2535  df-sbc 2740  df-un 2897  df-in 2899  df-ss 2906  df-pw 3334  df-sn 3354  df-pr 3355  df-op 3357  df-uni 3553  df-br 3737  df-opab 3791  df-mpt 3792  df-id 4002  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-iota 4792  df-fun 4829  df-fn 4830  df-fv 4835  df-tpos 5780
This theorem is referenced by:  ottposg  5790  dmtpos  5791  rntpos  5792  ovtposg  5794  dftpos3  5797  tpostpos  5799
  Copyright terms: Public domain W3C validator