ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg Structured version   GIF version

Theorem brtposg 5807
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 4749 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊) → {⟨A, B⟩} = ⟨B, A⟩)
21breq1d 3764 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
323adant3 923 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ( {⟨A, B⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
43anbi2d 437 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → ((⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶) ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
5 brtpos2 5804 . . 3 (𝐶 𝑋 → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
653ad2ant3 926 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) {⟨A, B⟩}𝐹𝐶)))
7 opexg 3954 . . . . . . . . 9 ((B 𝑊 A 𝑉) → ⟨B, A V)
87ancoms 255 . . . . . . . 8 ((A 𝑉 B 𝑊) → ⟨B, A V)
98anim1i 323 . . . . . . 7 (((A 𝑉 B 𝑊) 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
1093impa 1098 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A V 𝐶 𝑋))
11 breldmg 4483 . . . . . . 7 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋 B, A𝐹𝐶) → ⟨B, A dom 𝐹)
12113expia 1105 . . . . . 6 ((⟨B, A V 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
1310, 12syl 14 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨B, A dom 𝐹))
14 opelcnvg 4457 . . . . . 6 ((A 𝑉 B 𝑊) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
15143adant3 923 . . . . 5 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B dom 𝐹 ↔ ⟨B, A dom 𝐹))
1613, 15sylibrd 158 . . . 4 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B dom 𝐹))
17 elun1 3104 . . . 4 (⟨A, B dom 𝐹 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}))
1816, 17syl6 29 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 → ⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅})))
1918pm4.71rd 374 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨B, A𝐹𝐶 ↔ (⟨A, B (dom 𝐹 ∪ {∅}) B, A𝐹𝐶)))
204, 6, 193bitr4d 209 1 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  c0 3218  {csn 3366  cop 3369   cuni 3570   class class class wbr 3754  ccnv 4286  dom cdm 4287  tpos ctpos 5797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-id 4020  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-fv 4852  df-tpos 5798
This theorem is referenced by:  ottposg  5808  dmtpos  5809  rntpos  5810  ovtposg  5812  dftpos3  5815  tpostpos  5817
  Copyright terms: Public domain W3C validator