Theorem elun 3078

Description: Expansion of membership in class union. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elun	⊢ (A ∈ (B ∪ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∨ A ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2560	. 2 ⊢ (A ∈ (B ∪ 𝐶) → A ∈ V)
2		elex 2560	. . 3 ⊢ (A ∈ B → A ∈ V)
3		elex 2560	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝐶 → A ∈ V)
4	2, 3	jaoi 635	. 2 ⊢ ((A ∈ B ∨ A ∈ 𝐶) → A ∈ V)
5		eleq1 2097	. . . 4 ⊢ (x = A → (x ∈ B ↔ A ∈ B))
6		eleq1 2097	. . . 4 ⊢ (x = A → (x ∈ 𝐶 ↔ A ∈ 𝐶))
7	5, 6	orbi12d 706	. . 3 ⊢ (x = A → ((x ∈ B ∨ x ∈ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∨ A ∈ 𝐶)))
8		df-un 2916	. . 3 ⊢ (B ∪ 𝐶) = {x ∣ (x ∈ B ∨ x ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2683	. 2 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ (B ∪ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∨ A ∈ 𝐶)))
10	1, 4, 9	pm5.21nii 619	1 ⊢ (A ∈ (B ∪ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∨ A ∈ 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∪ cun 2909

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916

This theorem is referenced by:  uneqri  3079  uncom  3081  uneq1  3084  unass  3094  ssun1  3100  unss1  3106  ssequn1  3107  unss  3111  rexun  3117  ralunb  3118  unssdif  3166  unssin  3170  inssun  3171  indi  3178  undi  3179  difundi  3183  difindiss  3185  undif3ss  3192  symdifxor  3197  rabun2  3210  reuun2  3214  undif4  3278  ssundifim  3300  dfpr2  3383  eltpg  3407  pwprss  3567  pwtpss  3568  uniun  3590  intun  3637  iunun  3725  iunxun  3726  iinuniss  3728  brun  3801  pwunss  4011  elsuci  4106  elsucg  4107  elsuc2g  4108  ordsucim  4192  sucprcreg  4227  opthprc  4334  xpundi  4339  xpundir  4340  funun  4887  mptun  4972  unpreima  5235  reldmtpos  5809  dftpos4  5819  tpostpos  5820  elnn0  7959  un0addcl  7991  un0mulcl  7992  ltxr  8465  elxr  8466  fzsplit2  8684  elfzp1  8704  uzsplit  8724  elfzp12  8731  fzosplit  8803  fzouzsplit  8805  elfzonlteqm1  8836  fzosplitsni  8861  bj-nntrans  9411  bj-nnelirr  9413