Theorem tpostpos2 5880

Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos2	|- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Proof of Theorem tpostpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpostpos 5879	. 2 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
2		relrelss 4844	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) <-> F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
3		ssun1 3106	. . . . . 6 |- ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } )
4		xpss1 4448	. . . . . 6 |- ( ( _V X. _V ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) -> ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
6		sstr 2953	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ ( ( _V X. _V ) X. _V ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
7	5, 6	mpan2 401	. . . 4 |- ( F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
8	2, 7	sylbi 114	. . 3 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
9		df-ss 2931	. . 3 |- ( F C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) <-> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
10	8, 9	sylib 127	. 2 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) = F )
11	1, 10	syl5eq 2084	1 |- ( ( Rel F /\ Rel dom F ) -> tpos tpos F = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   _Vcvv 2557   u. cun 2915   i^i cin 2916   C_ wss 2917   (/)c0 3224   {csn 3375   X. cxp 4343   dom cdm 4345   Rel wrel 4350  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by: (None)