Theorem ensn1 6276

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- { A } ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		0ex 3884	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	1, 2	f1osn 5166	. . . 4 |- { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4	1, 2	opex 3966	. . . . . 6 |- <. A , (/) >. e. _V
5	4	snex 3937	. . . . 5 |- { <. A , (/) >. } e. _V
6		f1oeq1 5117	. . . . 5 |- ( f = { <. A , (/) >. } -> ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) } <-> { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } ) )
7	5, 6	spcev 2647	. . . 4 |- ( { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } -> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
8	3, 7	ax-mp 7	. . 3 |- E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) }
9		bren 6228	. . 3 |- ( { A } ~~ { (/) } <-> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
10	8, 9	mpbir 134	. 2 |- { A } ~~ { (/) }
11		df1o2 6013	. 2 |- 1o = { (/) }
12	10, 11	breqtrri 3789	1 |- { A } ~~ 1o

Syntax hints:   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   {csn 3375   <.cop 3378   class class class wbr 3764   -1-1-onto->wf1o 4901   1oc1o 5994   ~~ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-1o 6001  df-en 6222

This theorem is referenced by:  ensn1g  6277  en1  6279