ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bren Structured version   Unicode version

Theorem bren 6164
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren 
~~  : -1-1-onto->
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem bren
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 6163 . 2 
~~  _V  _V
2 f1ofn 5070 . . . . 5  : -1-1-onto->  Fn
3 fndm 4941 . . . . . 6  Fn  dom
4 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
54dmex 4541 . . . . . 6  dom  _V
63, 5syl6eqelr 2126 . . . . 5  Fn  _V
72, 6syl 14 . . . 4  : -1-1-onto->  _V
8 f1ofo 5076 . . . . . 6  : -1-1-onto->  : -onto->
9 forn 5052 . . . . . 6  : -onto->  ran
108, 9syl 14 . . . . 5  : -1-1-onto->  ran
114rnex 4542 . . . . 5  ran  _V
1210, 11syl6eqelr 2126 . . . 4  : -1-1-onto->  _V
137, 12jca 290 . . 3  : -1-1-onto->  _V  _V
1413exlimiv 1486 . 2  : -1-1-onto->  _V  _V
15 f1oeq2 5061 . . . 4  : -1-1-onto->  :
-1-1-onto->
1615exbidv 1703 . . 3  :
-1-1-onto->  : -1-1-onto->
17 f1oeq3 5062 . . . 4  : -1-1-onto->  :
-1-1-onto->
1817exbidv 1703 . . 3  :
-1-1-onto->  : -1-1-onto->
19 df-en 6158 . . 3  ~~  { <. , 
>.  |  : -1-1-onto-> }
2016, 18, 19brabg 3997 . 2  _V  _V  ~~  :
-1-1-onto->
211, 14, 20pm5.21nii 619 1 
~~  : -1-1-onto->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   class class class wbr 3755   dom cdm 4288   ran crn 4289    Fn wfn 4840   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844    ~~ cen 6155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-en 6158
This theorem is referenced by:  domen  6168  f1oen3g  6170  ener  6195  en0  6211  ensn1  6212  en1  6215  unen  6229  enm  6230
  Copyright terms: Public domain W3C validator