ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1 Structured version   Unicode version

Theorem en1 6215
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
en1 
~~  1o  { }
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem en1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 5952 . . . . 5  1o  { (/) }
21breq2i 3763 . . . 4 
~~  1o  ~~  { (/)
}
3 bren 6164 . . . 4 
~~  { (/) }  : -1-1-onto-> { (/) }
42, 3bitri 173 . . 3 
~~  1o  : -1-1-onto-> { (/) }
5 f1ocnv 5082 . . . . 5  : -1-1-onto-> { (/) }  `' : { (/) } -1-1-onto->
6 f1ofo 5076 . . . . . . . 8  `' : { (/) } -1-1-onto->  `' : { (/) }
-onto->
7 forn 5052 . . . . . . . 8  `' : { (/) }
-onto->  ran  `'
86, 7syl 14 . . . . . . 7  `' : { (/) } -1-1-onto->  ran  `'
9 f1of 5069 . . . . . . . . . 10  `' : { (/) } -1-1-onto->  `' : { (/) } -->
10 0ex 3875 . . . . . . . . . . . 12  (/)  _V
1110fsn2 5280 . . . . . . . . . . 11  `' : { (/) } -->  `' `  (/)  `'  { <. (/) ,  `' `  (/) >. }
1211simprbi 260 . . . . . . . . . 10  `' : { (/) } -->  `'  { <. (/) ,  `' `  (/) >. }
139, 12syl 14 . . . . . . . . 9  `' : { (/) } -1-1-onto->  `'  { <.
(/) ,  `' `  (/) >. }
1413rneqd 4506 . . . . . . . 8  `' : { (/) } -1-1-onto->  ran  `' 
ran  { <. (/) ,  `' `  (/) >. }
1510rnsnop 4744 . . . . . . . 8  ran  { <.
(/) ,  `' `  (/) >. }  { `' `
 (/) }
1614, 15syl6eq 2085 . . . . . . 7  `' : { (/) } -1-1-onto->  ran  `'  { `' `
 (/) }
178, 16eqtr3d 2071 . . . . . 6  `' : { (/) } -1-1-onto->  { `' `  (/) }
185, 17syl 14 . . . . 5  : -1-1-onto-> { (/) }  { `' `
 (/) }
19 f1ofn 5070 . . . . . . 7  `' : { (/) } -1-1-onto->  `'  Fn  { (/) }
2010snid 3394 . . . . . . 7  (/)  { (/)
}
21 funfvex 5135 . . . . . . . 8  Fun  `'  (/)  dom  `'  `' `  (/)  _V
2221funfni 4942 . . . . . . 7  `'  Fn  { (/) }  (/)  { (/) }  `' `  (/) 
_V
2319, 20, 22sylancl 392 . . . . . 6  `' : { (/) } -1-1-onto->  `' `  (/)  _V
24 sneq 3378 . . . . . . . 8  `' `
 (/)  { }  { `' `  (/) }
2524eqeq2d 2048 . . . . . . 7  `' `
 (/)  { }  { `' `  (/) }
2625spcegv 2635 . . . . . 6  `' `  (/) 
_V  { `' `
 (/) }  { }
2723, 26syl 14 . . . . 5  `' : { (/) } -1-1-onto->  { `' `  (/) }  { }
285, 18, 27sylc 56 . . . 4  : -1-1-onto-> { (/) }  { }
2928exlimiv 1486 . . 3  : -1-1-onto-> { (/) }  { }
304, 29sylbi 114 . 2 
~~  1o  { }
31 vex 2554 . . . . 5 
_V
3231ensn1 6212 . . . 4  { }  ~~  1o
33 breq1 3758 . . . 4  { }  ~~  1o  { }  ~~  1o
3432, 33mpbiri 157 . . 3  { }  ~~  1o
3534exlimiv 1486 . 2  { }  ~~  1o
3630, 35impbii 117 1 
~~  1o  { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   class class class wbr 3755   `'ccnv 4287   ran crn 4289    Fn wfn 4840   -->wf 4841   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845   1oc1o 5933    ~~ cen 6155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-1o 5940  df-en 6158
This theorem is referenced by:  en1bg  6216  reuen1  6217
  Copyright terms: Public domain W3C validator