Theorem en1bg 6280

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1bg	|- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 6279	. . 3 |- ( A ~~ 1o <-> E. x A = { x } )
2		id 19	. . . . 5 |- ( A = { x } -> A = { x } )
3		unieq 3589	. . . . . . 7 |- ( A = { x } -> U. A = U. { x } )
4		vex 2560	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	unisn 3596	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
6	3, 5	syl6eq 2088	. . . . . 6 |- ( A = { x } -> U. A = x )
7	6	sneqd 3388	. . . . 5 |- ( A = { x } -> { U. A } = { x } )
8	2, 7	eqtr4d 2075	. . . 4 |- ( A = { x } -> A = { U. A } )
9	8	exlimiv 1489	. . 3 |- ( E. x A = { x } -> A = { U. A } )
10	1, 9	sylbi 114	. 2 |- ( A ~~ 1o -> A = { U. A } )
11		uniexg 4175	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
12		ensn1g 6277	. . . 4 |- ( U. A e. _V -> { U. A } ~~ 1o )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> { U. A } ~~ 1o )
14		breq1 3767	. . 3 |- ( A = { U. A } -> ( A ~~ 1o <-> { U. A } ~~ 1o ) )
15	13, 14	syl5ibrcom 146	. 2 |- ( A e. V -> ( A = { U. A } -> A ~~ 1o ) )
16	10, 15	impbid2 131	1 |- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   U.cuni 3580   class class class wbr 3764   1oc1o 5994   ~~ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-en 6222

This theorem is referenced by:  en1uniel  6284