ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsn2 Unicode version

Theorem fsn2 5280
Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
fsn2.1  _V
Assertion
Ref Expression
fsn2  F : { } -->  F `  F  { <. ,  F `
 >. }

Proof of Theorem fsn2
StepHypRef Expression
1 ffn 4989 . . 3  F : { } -->  F  Fn  { }
2 fsn2.1 . . . . 5  _V
32snid 3394 . . . 4  { }
4 funfvex 5135 . . . . 5  Fun  F  dom  F  F `  _V
54funfni 4942 . . . 4  F  Fn  { }  { }  F `  _V
63, 5mpan2 401 . . 3  F  Fn  { }  F `  _V
71, 6syl 14 . 2  F : { } -->  F `  _V
8 elex 2560 . . 3  F `  F `  _V
98adantr 261 . 2  F `  F  { <. ,  F ` 
>. }  F `  _V
10 ffvelrn 5243 . . . . . 6  F : { }
-->  { }  F `
113, 10mpan2 401 . . . . 5  F : { } -->  F `
12 dffn3 4996 . . . . . . . 8  F  Fn  { }  F : { } --> ran  F
1312biimpi 113 . . . . . . 7  F  Fn  { }  F : { }
--> ran  F
14 imadmrn 4621 . . . . . . . . . 10  F
" dom  F  ran  F
15 fndm 4941 . . . . . . . . . . 11  F  Fn  { }  dom  F  { }
1615imaeq2d 4611 . . . . . . . . . 10  F  Fn  { }  F " dom  F  F
" { }
1714, 16syl5eqr 2083 . . . . . . . . 9  F  Fn  { }  ran  F  F " { }
18 fnsnfv 5175 . . . . . . . . . 10  F  Fn  { }  { }  { F `  }  F
" { }
193, 18mpan2 401 . . . . . . . . 9  F  Fn  { }  { F `  }  F " { }
2017, 19eqtr4d 2072 . . . . . . . 8  F  Fn  { }  ran  F  { F `  }
21 feq3 4975 . . . . . . . 8  ran 
F  { F `  }  F : { } --> ran  F  F : { } --> { F `
 }
2220, 21syl 14 . . . . . . 7  F  Fn  { }  F : { } --> ran  F  F : { } --> { F `  }
2313, 22mpbid 135 . . . . . 6  F  Fn  { }  F : { }
--> { F `  }
241, 23syl 14 . . . . 5  F : { } -->  F : { } --> { F `
 }
2511, 24jca 290 . . . 4  F : { } -->  F `
 F : { } --> { F `  }
26 snssi 3499 . . . . 5  F `  { F `  }  C_
27 fss 4997 . . . . . 6  F : { }
--> { F `  }  { F `  }  C_  F : { }
-->
2827ancoms 255 . . . . 5  { F `  }  C_  F : { }
--> { F `  } 
F : { }
-->
2926, 28sylan 267 . . . 4  F `  F : { } --> { F `  } 
F : { }
-->
3025, 29impbii 117 . . 3  F : { } -->  F `  F : { }
--> { F `  }
31 fsng 5279 . . . . 5  _V  F `  _V  F : { }
--> { F `  }  F  { <. ,  F ` 
>. }
322, 31mpan 400 . . . 4  F `  _V  F : { } --> { F `  }  F  { <. ,  F ` 
>. }
3332anbi2d 437 . . 3  F `  _V  F `  F : { } --> { F `  }  F `  F  { <. ,  F ` 
>. }
3430, 33syl5bb 181 . 2  F `  _V  F : { } -->  F `  F  { <. ,  F `
 >. }
357, 9, 34pm5.21nii 619 1  F : { } -->  F `  F  { <. ,  F `
 >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   {csn 3367   <.cop 3370   dom cdm 4288   ran crn 4289   "cima 4291    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fnressn  5292  fressnfv  5293  en1  6215
  Copyright terms: Public domain W3C validator