Theorem imadmrn 4678

Description: The image of the domain of a class is the range of the class. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- ( A " dom A ) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		vex 2560	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	1, 2	opeldm 4538	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. dom A )
4	3	pm4.71i 371	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) )
5		ancom 253	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. dom A ) <-> ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) )
6	4, 5	bitr2i 174	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> <. x , y >. e. A )
7	6	exbii 1496	. . 3 |- ( E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) <-> E. x <. x , y >. e. A )
8	7	abbii 2153	. 2 |- { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) } = { y | E. x <. x , y >. e. A }
9		dfima3 4671	. 2 |- ( A " dom A ) = { y | E. x ( x e. dom A /\ <. x , y >. e. A ) }
10		dfrn3 4524	. 2 |- ran A = { y | E. x <. x , y >. e. A }
11	8, 9, 10	3eqtr4i 2070	1 |- ( A " dom A ) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   <.cop 3378   dom cdm 4345   ran crn 4346   "cima 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358

This theorem is referenced by:  cnvimarndm  4689  foima  5111  f1imacnv  5143  fsn2  5337  resfunexg  5382  funiunfvdm  5402  fnexALT  5740  uniqs2  6166  phplem4  6318  phplem4on  6329