Theorem dfima3 4671

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima3	|- ( A " B ) = { y | E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) }

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem dfima3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima2 4670	. 2 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }
2		df-br 3765	. . . . 5 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
3	2	rexbii 2331	. . . 4 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x e. B <. x , y >. e. A )
4		df-rex 2312	. . . 4 |- ( E. x e. B <. x , y >. e. A <-> E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) )
5	3, 4	bitri 173	. . 3 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) )
6	5	abbii 2153	. 2 |- { y | E. x e. B x A y } = { y | E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) }
7	1, 6	eqtri 2060	1 |- ( A " B ) = { y | E. x ( x e. B /\ <. x , y >. e. A ) }

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   E.wrex 2307   <.cop 3378   class class class wbr 3764   "cima 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358

This theorem is referenced by:  imadmrn  4678  imassrn  4679  imai  4681