Theorem dfima2 4670

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	|- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4358	. 2 |- ( A " B ) = ran ( A |` B )
2		dfrn2 4523	. 2 |- ran ( A |` B ) = { y | E. x x ( A |` B ) y }
3		vex 2560	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	brres 4618	. . . . . 6 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x A y /\ x e. B ) )
5		ancom 253	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x e. B ) <-> ( x e. B /\ x A y ) )
6	4, 5	bitri 173	. . . . 5 |- ( x ( A |` B ) y <-> ( x e. B /\ x A y ) )
7	6	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
8		df-rex 2312	. . . 4 |- ( E. x e. B x A y <-> E. x ( x e. B /\ x A y ) )
9	7, 8	bitr4i 176	. . 3 |- ( E. x x ( A |` B ) y <-> E. x e. B x A y )
10	9	abbii 2153	. 2 |- { y | E. x x ( A |` B ) y } = { y | E. x e. B x A y }
11	1, 2, 10	3eqtri 2064	1 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   E.wrex 2307   class class class wbr 3764   ran crn 4346   |` cres 4347   "cima 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358

This theorem is referenced by:  dfima3  4671  elimag  4672  imasng  4690  imadiflem  4978  imadif  4979  imainlem  4980  imain  4981  funimaexglem  4982  dfimafn  5222  isoini  5457