Theorem dfima2 4613

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	⊢ (A “ B) = {y ∣ ∃x ∈ B xAy}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4301	. 2 ⊢ (A “ B) = ran (A ↾ B)
2		dfrn2 4466	. 2 ⊢ ran (A ↾ B) = {y ∣ ∃x x(A ↾ B)y}
3		vex 2554	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
4	3	brres 4561	. . . . . 6 ⊢ (x(A ↾ B)y ↔ (xAy ∧ x ∈ B))
5		ancom 253	. . . . . 6 ⊢ ((xAy ∧ x ∈ B) ↔ (x ∈ B ∧ xAy))
6	4, 5	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (x(A ↾ B)y ↔ (x ∈ B ∧ xAy))
7	6	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃x x(A ↾ B)y ↔ ∃x(x ∈ B ∧ xAy))
8		df-rex 2306	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ B xAy ↔ ∃x(x ∈ B ∧ xAy))
9	7, 8	bitr4i 176	. . 3 ⊢ (∃x x(A ↾ B)y ↔ ∃x ∈ B xAy)
10	9	abbii 2150	. 2 ⊢ {y ∣ ∃x x(A ↾ B)y} = {y ∣ ∃x ∈ B xAy}
11	1, 2, 10	3eqtri 2061	1 ⊢ (A “ B) = {y ∣ ∃x ∈ B xAy}

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  {cab 2023  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  ran crn 4289   ↾ cres 4290   “ cima 4291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301

This theorem is referenced by:  dfima3  4614  elimag  4615  imasng  4633  imadiflem  4921  imadif  4922  imainlem  4923  imain  4924  funimaexglem  4925  dfimafn  5165  isoini  5400