Theorem dfima2 4597

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima2	⊢ (A “ B) = {y ∣ ∃x ∈ B xAy}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4285	. 2 ⊢ (A “ B) = ran (A ↾ B)
2		dfrn2 4450	. 2 ⊢ ran (A ↾ B) = {y ∣ ∃x x(A ↾ B)y}
3		vex 2538	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
4	3	brres 4545	. . . . . 6 ⊢ (x(A ↾ B)y ↔ (xAy ∧ x ∈ B))
5		ancom 253	. . . . . 6 ⊢ ((xAy ∧ x ∈ B) ↔ (x ∈ B ∧ xAy))
6	4, 5	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (x(A ↾ B)y ↔ (x ∈ B ∧ xAy))
7	6	exbii 1478	. . . 4 ⊢ (∃x x(A ↾ B)y ↔ ∃x(x ∈ B ∧ xAy))
8		df-rex 2290	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ B xAy ↔ ∃x(x ∈ B ∧ xAy))
9	7, 8	bitr4i 176	. . 3 ⊢ (∃x x(A ↾ B)y ↔ ∃x ∈ B xAy)
10	9	abbii 2135	. 2 ⊢ {y ∣ ∃x x(A ↾ B)y} = {y ∣ ∃x ∈ B xAy}
11	1, 2, 10	3eqtri 2046	1 ⊢ (A “ B) = {y ∣ ∃x ∈ B xAy}

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  {cab 2008  ∃wrex 2285   class class class wbr 3738  ran crn 4273   ↾ cres 4274   “ cima 4275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-xp 4278  df-cnv 4280  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285

This theorem is referenced by:  dfima3  4598  elimag  4599  imasng  4617  imadiflem  4904  imadif  4905  imainlem  4906  imain  4907  funimaexglem  4908  dfimafn  5147  isoini  5382