ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imain Structured version   GIF version

Theorem imain 4924
Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
imain (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (AB)) = ((𝐹A) ∩ (𝐹B)))

Proof of Theorem imain
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imainlem 4923 . . 3 (𝐹 “ (AB)) ⊆ ((𝐹A) ∩ (𝐹B))
21a1i 9 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (AB)) ⊆ ((𝐹A) ∩ (𝐹B)))
3 eeanv 1804 . . . . . 6 (xz((x A x𝐹y) (z B z𝐹y)) ↔ (x(x A x𝐹y) z(z B z𝐹y)))
4 simprll 489 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹 ((x A x𝐹y) (z B z𝐹y))) → x A)
5 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x A x𝐹y) → x𝐹y)
6 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z B z𝐹y) → z𝐹y)
75, 6anim12i 321 . . . . . . . . . . . . 13 (((x A x𝐹y) (z B z𝐹y)) → (x𝐹y z𝐹y))
8 funcnveq 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐹xyz((x𝐹y z𝐹y) → x = z))
98biimpi 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝐹xyz((x𝐹y z𝐹y) → x = z))
10919.21bi 1447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹yz((x𝐹y z𝐹y) → x = z))
111019.21bbi 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → ((x𝐹y z𝐹y) → x = z))
1211imp 115 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 (x𝐹y z𝐹y)) → x = z)
137, 12sylan2 270 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 ((x A x𝐹y) (z B z𝐹y))) → x = z)
14 simprrl 491 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 ((x A x𝐹y) (z B z𝐹y))) → z B)
1513, 14eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹 ((x A x𝐹y) (z B z𝐹y))) → x B)
16 elin 3120 . . . . . . . . . . 11 (x (AB) ↔ (x A x B))
174, 15, 16sylanbrc 394 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹 ((x A x𝐹y) (z B z𝐹y))) → x (AB))
18 simprlr 490 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹 ((x A x𝐹y) (z B z𝐹y))) → x𝐹y)
1917, 18jca 290 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ((x A x𝐹y) (z B z𝐹y))) → (x (AB) x𝐹y))
2019ex 108 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (((x A x𝐹y) (z B z𝐹y)) → (x (AB) x𝐹y)))
2120exlimdv 1697 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (z((x A x𝐹y) (z B z𝐹y)) → (x (AB) x𝐹y)))
2221eximdv 1757 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (xz((x A x𝐹y) (z B z𝐹y)) → x(x (AB) x𝐹y)))
233, 22syl5bir 142 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((x(x A x𝐹y) z(z B z𝐹y)) → x(x (AB) x𝐹y)))
24 df-rex 2306 . . . . . 6 (x A x𝐹yx(x A x𝐹y))
25 df-rex 2306 . . . . . 6 (z B z𝐹yz(z B z𝐹y))
2624, 25anbi12i 433 . . . . 5 ((x A x𝐹y z B z𝐹y) ↔ (x(x A x𝐹y) z(z B z𝐹y)))
27 df-rex 2306 . . . . 5 (x (AB)x𝐹yx(x (AB) x𝐹y))
2823, 26, 273imtr4g 194 . . . 4 (Fun 𝐹 → ((x A x𝐹y z B z𝐹y) → x (AB)x𝐹y))
2928ss2abdv 3007 . . 3 (Fun 𝐹 → {y ∣ (x A x𝐹y z B z𝐹y)} ⊆ {yx (AB)x𝐹y})
30 dfima2 4613 . . . . 5 (𝐹A) = {yx A x𝐹y}
31 dfima2 4613 . . . . 5 (𝐹B) = {yz B z𝐹y}
3230, 31ineq12i 3130 . . . 4 ((𝐹A) ∩ (𝐹B)) = ({yx A x𝐹y} ∩ {yz B z𝐹y})
33 inab 3199 . . . 4 ({yx A x𝐹y} ∩ {yz B z𝐹y}) = {y ∣ (x A x𝐹y z B z𝐹y)}
3432, 33eqtri 2057 . . 3 ((𝐹A) ∩ (𝐹B)) = {y ∣ (x A x𝐹y z B z𝐹y)}
35 dfima2 4613 . . 3 (𝐹 “ (AB)) = {yx (AB)x𝐹y}
3629, 34, 353sstr4g 2980 . 2 (Fun 𝐹 → ((𝐹A) ∩ (𝐹B)) ⊆ (𝐹 “ (AB)))
372, 36eqssd 2956 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (AB)) = ((𝐹A) ∩ (𝐹B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  cin 2910  wss 2911   class class class wbr 3755  ccnv 4287  cima 4291  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  inpreima  5236
  Copyright terms: Public domain W3C validator