Theorem imain 4924

Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
imain	⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (A ∩ B)) = ((𝐹 “ A) ∩ (𝐹 “ B)))

Proof of Theorem imain

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imainlem 4923	. . 3 ⊢ (𝐹 “ (A ∩ B)) ⊆ ((𝐹 “ A) ∩ (𝐹 “ B))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (A ∩ B)) ⊆ ((𝐹 “ A) ∩ (𝐹 “ B)))
3		eeanv 1804	. . . . . 6 ⊢ (∃x∃z((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ ∃z(z ∈ B ∧ z𝐹y)))
4		simprll 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y))) → x ∈ A)
5		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) → x𝐹y)
6		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ B ∧ z𝐹y) → z𝐹y)
7	5, 6	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y)) → (x𝐹y ∧ z𝐹y))
8		funcnveq 4905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Fun ◡𝐹 ↔ ∀x∀y∀z((x𝐹y ∧ z𝐹y) → x = z))
9	8	biimpi 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ∀x∀y∀z((x𝐹y ∧ z𝐹y) → x = z))
10	9	19.21bi 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ∀y∀z((x𝐹y ∧ z𝐹y) → x = z))
11	10	19.21bbi 1448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ((x𝐹y ∧ z𝐹y) → x = z))
12	11	imp 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (x𝐹y ∧ z𝐹y)) → x = z)
13	7, 12	sylan2 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y))) → x = z)
14		simprrl 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y))) → z ∈ B)
15	13, 14	eqeltrd 2111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y))) → x ∈ B)
16		elin 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ (A ∩ B) ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ B))
17	4, 15, 16	sylanbrc 394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y))) → x ∈ (A ∩ B))
18		simprlr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y))) → x𝐹y)
19	17, 18	jca 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y))) → (x ∈ (A ∩ B) ∧ x𝐹y))
20	19	ex 108	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y)) → (x ∈ (A ∩ B) ∧ x𝐹y)))
21	20	exlimdv 1697	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (∃z((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y)) → (x ∈ (A ∩ B) ∧ x𝐹y)))
22	21	eximdv 1757	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (∃x∃z((x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ (z ∈ B ∧ z𝐹y)) → ∃x(x ∈ (A ∩ B) ∧ x𝐹y)))
23	3, 22	syl5bir 142	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ((∃x(x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ ∃z(z ∈ B ∧ z𝐹y)) → ∃x(x ∈ (A ∩ B) ∧ x𝐹y)))
24		df-rex 2306	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A x𝐹y ↔ ∃x(x ∈ A ∧ x𝐹y))
25		df-rex 2306	. . . . . 6 ⊢ (∃z ∈ B z𝐹y ↔ ∃z(z ∈ B ∧ z𝐹y))
26	24, 25	anbi12i 433	. . . . 5 ⊢ ((∃x ∈ A x𝐹y ∧ ∃z ∈ B z𝐹y) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ x𝐹y) ∧ ∃z(z ∈ B ∧ z𝐹y)))
27		df-rex 2306	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ (A ∩ B)x𝐹y ↔ ∃x(x ∈ (A ∩ B) ∧ x𝐹y))
28	23, 26, 27	3imtr4g 194	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ((∃x ∈ A x𝐹y ∧ ∃z ∈ B z𝐹y) → ∃x ∈ (A ∩ B)x𝐹y))
29	28	ss2abdv 3007	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐹 → {y ∣ (∃x ∈ A x𝐹y ∧ ∃z ∈ B z𝐹y)} ⊆ {y ∣ ∃x ∈ (A ∩ B)x𝐹y})
30		dfima2 4613	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ A) = {y ∣ ∃x ∈ A x𝐹y}
31		dfima2 4613	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ B) = {y ∣ ∃z ∈ B z𝐹y}
32	30, 31	ineq12i 3130	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ A) ∩ (𝐹 “ B)) = ({y ∣ ∃x ∈ A x𝐹y} ∩ {y ∣ ∃z ∈ B z𝐹y})
33		inab 3199	. . . 4 ⊢ ({y ∣ ∃x ∈ A x𝐹y} ∩ {y ∣ ∃z ∈ B z𝐹y}) = {y ∣ (∃x ∈ A x𝐹y ∧ ∃z ∈ B z𝐹y)}
34	32, 33	eqtri 2057	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ A) ∩ (𝐹 “ B)) = {y ∣ (∃x ∈ A x𝐹y ∧ ∃z ∈ B z𝐹y)}
35		dfima2 4613	. . 3 ⊢ (𝐹 “ (A ∩ B)) = {y ∣ ∃x ∈ (A ∩ B)x𝐹y}
36	29, 34, 35	3sstr4g 2980	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ((𝐹 “ A) ∩ (𝐹 “ B)) ⊆ (𝐹 “ (A ∩ B)))
37	2, 36	eqssd 2956	1 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (A ∩ B)) = ((𝐹 “ A) ∩ (𝐹 “ B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1240   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  {cab 2023  ∃wrex 2301   ∩ cin 2910   ⊆ wss 2911   class class class wbr 3755  ^◡ccnv 4287   “ cima 4291  Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847

This theorem is referenced by:  inpreima  5236