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Theorem funimaexglem 4923
Description: Lemma for funimaexg 4924. It constitutes the interesting part of funimaexg 4924, in which B ⊆ dom A. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funimaexglem ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → (AB) V)

Proof of Theorem funimaexglem
Dummy variables 𝑏 x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun7 4869 . . . . . . . . . 10 (Fun A ↔ (Rel A x dom A∃*y xAy))
21simprbi 260 . . . . . . . . 9 (Fun Ax dom A∃*y xAy)
323ad2ant1 924 . . . . . . . 8 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → x dom A∃*y xAy)
4 ssralv 2998 . . . . . . . . 9 (B ⊆ dom A → (x dom A∃*y xAyx B ∃*y xAy))
543ad2ant3 926 . . . . . . . 8 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → (x dom A∃*y xAyx B ∃*y xAy))
63, 5mpd 13 . . . . . . 7 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → x B ∃*y xAy)
76alrimiv 1751 . . . . . 6 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → zx B ∃*y xAy)
8 sseq1 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = B → (𝑏 ⊆ dom AB ⊆ dom A))
98biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 = B B ⊆ dom A) → 𝑏 ⊆ dom A)
1093adant1 921 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun A 𝑏 = B B ⊆ dom A) → 𝑏 ⊆ dom A)
11 simp1 903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun A 𝑏 = B B ⊆ dom A) → Fun A)
1210, 11jca 290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun A 𝑏 = B B ⊆ dom A) → (𝑏 ⊆ dom A Fun A))
13 dffun8 4870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun A ↔ (Rel A x dom A∃!y xAy))
1413simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun Ax dom A∃!y xAy)
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ⊆ dom A Fun A) → x dom A∃!y xAy)
16 ssel 2933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ⊆ dom A → (x 𝑏x dom A))
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ⊆ dom A Fun A) → (x 𝑏x dom A))
18 rsp 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (x dom A∃!y xAy → (x dom A∃!y xAy))
1915, 17, 18sylsyld 52 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ⊆ dom A Fun A) → (x 𝑏∃!y xAy))
2019ralrimiv 2385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ⊆ dom A Fun A) → x 𝑏 ∃!y xAy)
21 zfrep6 3864 . . . . . . . . . . . . . 14 (x 𝑏 ∃!y xAyzx 𝑏 y z xAy)
2212, 20, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun A 𝑏 = B B ⊆ dom A) → zx 𝑏 y z xAy)
23 raleq 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = B → (x 𝑏 y z xAyx B y z xAy))
2423exbidv 1703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = B → (zx 𝑏 y z xAyzx B y z xAy))
25243ad2ant2 925 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun A 𝑏 = B B ⊆ dom A) → (zx 𝑏 y z xAyzx B y z xAy))
2622, 25mpbid 135 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun A 𝑏 = B B ⊆ dom A) → zx B y z xAy)
27263com12 1107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = B Fun A B ⊆ dom A) → zx B y z xAy)
28273expib 1106 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = B → ((Fun A B ⊆ dom A) → zx B y z xAy))
2928vtocleg 2618 . . . . . . . . 9 (B 𝐶 → ((Fun A B ⊆ dom A) → zx B y z xAy))
30293impib 1101 . . . . . . . 8 ((B 𝐶 Fun A B ⊆ dom A) → zx B y z xAy)
31303com12 1107 . . . . . . 7 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → zx B y z xAy)
32 df-rex 2306 . . . . . . . . . 10 (y z xAyy(y z xAy))
33 exancom 1496 . . . . . . . . . 10 (y(y z xAy) ↔ y(xAy y z))
3432, 33bitri 173 . . . . . . . . 9 (y z xAyy(xAy y z))
3534ralbii 2324 . . . . . . . 8 (x B y z xAyx B y(xAy y z))
3635exbii 1493 . . . . . . 7 (zx B y z xAyzx B y(xAy y z))
3731, 36sylib 127 . . . . . 6 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → zx B y(xAy y z))
38 19.29 1508 . . . . . . 7 ((zx B ∃*y xAy zx B y(xAy y z)) → z(x B ∃*y xAy x B y(xAy y z)))
39 nfcv 2175 . . . . . . . . . . 11 yB
40 nfmo1 1909 . . . . . . . . . . 11 y∃*y xAy
4139, 40nfralxy 2354 . . . . . . . . . 10 yx B ∃*y xAy
42 nfe1 1382 . . . . . . . . . . 11 yy(xAy y z)
4339, 42nfralxy 2354 . . . . . . . . . 10 yx B y(xAy y z)
4441, 43nfan 1454 . . . . . . . . 9 y(x B ∃*y xAy x B y(xAy y z))
45 r19.26 2435 . . . . . . . . . 10 (x B (∃*y xAy y(xAy y z)) ↔ (x B ∃*y xAy x B y(xAy y z)))
46 mopick 1975 . . . . . . . . . . 11 ((∃*y xAy y(xAy y z)) → (xAyy z))
4746ralimi 2378 . . . . . . . . . 10 (x B (∃*y xAy y(xAy y z)) → x B (xAyy z))
4845, 47sylbir 125 . . . . . . . . 9 ((x B ∃*y xAy x B y(xAy y z)) → x B (xAyy z))
4944, 48alrimi 1412 . . . . . . . 8 ((x B ∃*y xAy x B y(xAy y z)) → yx B (xAyy z))
5049eximi 1488 . . . . . . 7 (z(x B ∃*y xAy x B y(xAy y z)) → zyx B (xAyy z))
5138, 50syl 14 . . . . . 6 ((zx B ∃*y xAy zx B y(xAy y z)) → zyx B (xAyy z))
527, 37, 51syl2anc 391 . . . . 5 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → zyx B (xAyy z))
53 r19.23v 2419 . . . . . . 7 (x B (xAyy z) ↔ (x B xAyy z))
5453albii 1356 . . . . . 6 (yx B (xAyy z) ↔ y(x B xAyy z))
5554exbii 1493 . . . . 5 (zyx B (xAyy z) ↔ zy(x B xAyy z))
5652, 55sylib 127 . . . 4 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → zy(x B xAyy z))
57 abss 3003 . . . . 5 ({yx B xAy} ⊆ zy(x B xAyy z))
5857exbii 1493 . . . 4 (z{yx B xAy} ⊆ zzy(x B xAyy z))
5956, 58sylibr 137 . . 3 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → z{yx B xAy} ⊆ z)
60 dfima2 4612 . . . . 5 (AB) = {yx B xAy}
6160sseq1i 2963 . . . 4 ((AB) ⊆ z ↔ {yx B xAy} ⊆ z)
6261exbii 1493 . . 3 (z(AB) ⊆ zz{yx B xAy} ⊆ z)
6359, 62sylibr 137 . 2 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → z(AB) ⊆ z)
64 vex 2554 . . . 4 z V
6564ssex 3884 . . 3 ((AB) ⊆ z → (AB) V)
6665exlimiv 1486 . 2 (z(AB) ⊆ z → (AB) V)
6763, 66syl 14 1 ((Fun A B 𝐶 B ⊆ dom A) → (AB) V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  {cab 2023  wral 2300  wrex 2301  Vcvv 2551  wss 2911   class class class wbr 3754  dom cdm 4287  cima 4290  Rel wrel 4292  Fun wfun 4838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-br 3755  df-opab 3809  df-id 4020  df-xp 4293  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-fun 4846
This theorem is referenced by:  funimaexg  4924
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