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Theorem funimaexglem 4982
 Description: Lemma for funimaexg 4983. It constitutes the interesting part of funimaexg 4983, in which 𝐵 ⊆ dom 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funimaexglem ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem funimaexglem
Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun7 4928 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
21simprbi 260 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐴 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
323ad2ant1 925 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
4 ssralv 3004 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
543ad2ant3 927 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
63, 5mpd 13 . . . . . . 7 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
76alrimiv 1754 . . . . . 6 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑧𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
8 sseq1 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ dom 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴))
98biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝑏 ⊆ dom 𝐴)
1093adant1 922 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝑏 ⊆ dom 𝐴)
11 simp1 904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
1210, 11jca 290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴))
13 dffun8 4929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
1413simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐴 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
16 ssel 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ⊆ dom 𝐴 → (𝑥𝑏𝑥 ∈ dom 𝐴))
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → (𝑥𝑏𝑥 ∈ dom 𝐴))
18 rsp 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐴 → ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
1915, 17, 18sylsyld 52 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → (𝑥𝑏 → ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
2019ralrimiv 2391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → ∀𝑥𝑏 ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
21 zfrep6 3874 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑏 ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
2212, 20, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
23 raleq 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
2423exbidv 1706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
25243ad2ant2 926 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
2622, 25mpbid 135 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
27263com12 1108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝐵 ∧ Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
28273expib 1107 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → ((Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
2928vtocleg 2624 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶 → ((Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
30293impib 1102 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
31303com12 1108 . . . . . . 7 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
32 df-rex 2312 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑧𝑥𝐴𝑦))
33 exancom 1499 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝑦𝑧𝑥𝐴𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3432, 33bitri 173 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3534ralbii 2330 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3635exbii 1496 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3731, 36sylib 127 . . . . . 6 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
38 19.29 1511 . . . . . . 7 ((∀𝑧𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑧(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)))
39 nfcv 2178 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝐵
40 nfmo1 1912 . . . . . . . . . . 11 𝑦∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦
4139, 40nfralxy 2360 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦
42 nfe1 1385 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)
4339, 42nfralxy 2360 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)
4441, 43nfan 1457 . . . . . . . . 9 𝑦(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
45 r19.26 2441 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐵 (∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) ↔ (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)))
46 mopick 1978 . . . . . . . . . . 11 ((∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
4746ralimi 2384 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐵 (∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
4845, 47sylbir 125 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
4944, 48alrimi 1415 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∀𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5049eximi 1491 . . . . . . 7 (∃𝑧(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5138, 50syl 14 . . . . . 6 ((∀𝑧𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
527, 37, 51syl2anc 391 . . . . 5 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
53 r19.23v 2425 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧) ↔ (∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5453albii 1359 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧) ↔ ∀𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5554exbii 1496 . . . . 5 (∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧) ↔ ∃𝑧𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5652, 55sylib 127 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
57 abss 3009 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5857exbii 1496 . . . 4 (∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5956, 58sylibr 137 . . 3 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
60 dfima2 4670 . . . . 5 (𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦}
6160sseq1i 2969 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
6261exbii 1496 . . 3 (∃𝑧(𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
6359, 62sylibr 137 . 2 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧(𝐴𝐵) ⊆ 𝑧)
64 vex 2560 . . . 4 𝑧 ∈ V
6564ssex 3894 . . 3 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 → (𝐴𝐵) ∈ V)
6665exlimiv 1489 . 2 (∃𝑧(𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 → (𝐴𝐵) ∈ V)
6763, 66syl 14 1 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ V)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885  ∀wal 1241   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃!weu 1900  ∃*wmo 1901  {cab 2026  ∀wral 2306  ∃wrex 2307  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764  dom cdm 4345   “ cima 4348  Rel wrel 4350  Fun wfun 4896 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904 This theorem is referenced by:  funimaexg  4983
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