Theorem funimaexglem 4904

Description: Lemma for funimaexg 4905. It constitutes the interesting part of funimaexg 4905, in which B ⊆ dom A. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funimaexglem	⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → (A “ B) ∈ V)

Proof of Theorem funimaexglem

Dummy variables 𝑏 x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 4850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ ∀x ∈ dom A∃*y xAy))
2	1	simprbi 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun A → ∀x ∈ dom A∃*y xAy)
3	2	3ad2ant1 911	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∀x ∈ dom A∃*y xAy)
4		ssralv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ⊆ dom A → (∀x ∈ dom A∃*y xAy → ∀x ∈ B ∃*y xAy))
5	4	3ad2ant3 913	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → (∀x ∈ dom A∃*y xAy → ∀x ∈ B ∃*y xAy))
6	3, 5	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∀x ∈ B ∃*y xAy)
7	6	alrimiv 1732	. . . . . 6 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∀z∀x ∈ B ∃*y xAy)
8		sseq1 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = B → (𝑏 ⊆ dom A ↔ B ⊆ dom A))
9	8	biimpar 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 = B ∧ B ⊆ dom A) → 𝑏 ⊆ dom A)
10	9	3adant1 908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun A ∧ 𝑏 = B ∧ B ⊆ dom A) → 𝑏 ⊆ dom A)
11		simp1 890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun A ∧ 𝑏 = B ∧ B ⊆ dom A) → Fun A)
12	10, 11	jca 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun A ∧ 𝑏 = B ∧ B ⊆ dom A) → (𝑏 ⊆ dom A ∧ Fun A))
13		dffun8 4851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ ∀x ∈ dom A∃!y xAy))
14	13	simprbi 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Fun A → ∀x ∈ dom A∃!y xAy)
15	14	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom A ∧ Fun A) → ∀x ∈ dom A∃!y xAy)
16		ssel 2912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ⊆ dom A → (x ∈ 𝑏 → x ∈ dom A))
17	16	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom A ∧ Fun A) → (x ∈ 𝑏 → x ∈ dom A))
18		rsp 2343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀x ∈ dom A∃!y xAy → (x ∈ dom A → ∃!y xAy))
19	15, 17, 18	sylsyld 52	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom A ∧ Fun A) → (x ∈ 𝑏 → ∃!y xAy))
20	19	ralrimiv 2365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom A ∧ Fun A) → ∀x ∈ 𝑏 ∃!y xAy)
21		zfrep6 3844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀x ∈ 𝑏 ∃!y xAy → ∃z∀x ∈ 𝑏 ∃y ∈ z xAy)
22	12, 20, 21	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun A ∧ 𝑏 = B ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ 𝑏 ∃y ∈ z xAy)
23		raleq 2479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = B → (∀x ∈ 𝑏 ∃y ∈ z xAy ↔ ∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy))
24	23	exbidv 1684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = B → (∃z∀x ∈ 𝑏 ∃y ∈ z xAy ↔ ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy))
25	24	3ad2ant2 912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun A ∧ 𝑏 = B ∧ B ⊆ dom A) → (∃z∀x ∈ 𝑏 ∃y ∈ z xAy ↔ ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy))
26	22, 25	mpbid 135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun A ∧ 𝑏 = B ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy)
27	26	3com12 1092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = B ∧ Fun A ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy)
28	27	3expib 1091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = B → ((Fun A ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy))
29	28	vtocleg 2597	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ 𝐶 → ((Fun A ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy))
30	29	3impib 1086	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ 𝐶 ∧ Fun A ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy)
31	30	3com12 1092	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy)
32		df-rex 2286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃y ∈ z xAy ↔ ∃y(y ∈ z ∧ xAy))
33		exancom 1477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃y(y ∈ z ∧ xAy) ↔ ∃y(xAy ∧ y ∈ z))
34	32, 33	bitri 173	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃y ∈ z xAy ↔ ∃y(xAy ∧ y ∈ z))
35	34	ralbii 2304	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy ↔ ∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z))
36	35	exbii 1474	. . . . . . 7 ⊢ (∃z∀x ∈ B ∃y ∈ z xAy ↔ ∃z∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z))
37	31, 36	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z))
38		19.29 1489	. . . . . . 7 ⊢ ((∀z∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∃z∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) → ∃z(∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)))
39		nfcv 2156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℲyB
40		nfmo1 1890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎy∃*y xAy
41	39, 40	nfralxy 2334	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎy∀x ∈ B ∃*y xAy
42		nfe1 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎy∃y(xAy ∧ y ∈ z)
43	39, 42	nfralxy 2334	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎy∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)
44	41, 43	nfan 1435	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎy(∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z))
45		r19.26 2415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀x ∈ B (∃*y xAy ∧ ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) ↔ (∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)))
46		mopick 1956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃*y xAy ∧ ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) → (xAy → y ∈ z))
47	46	ralimi 2358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀x ∈ B (∃*y xAy ∧ ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) → ∀x ∈ B (xAy → y ∈ z))
48	45, 47	sylbir 125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) → ∀x ∈ B (xAy → y ∈ z))
49	44, 48	alrimi 1392	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) → ∀y∀x ∈ B (xAy → y ∈ z))
50	49	eximi 1469	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) → ∃z∀y∀x ∈ B (xAy → y ∈ z))
51	38, 50	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((∀z∀x ∈ B ∃*y xAy ∧ ∃z∀x ∈ B ∃y(xAy ∧ y ∈ z)) → ∃z∀y∀x ∈ B (xAy → y ∈ z))
52	7, 37, 51	syl2anc 393	. . . . 5 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀y∀x ∈ B (xAy → y ∈ z))
53		r19.23v 2399	. . . . . . 7 ⊢ (∀x ∈ B (xAy → y ∈ z) ↔ (∃x ∈ B xAy → y ∈ z))
54	53	albii 1335	. . . . . 6 ⊢ (∀y∀x ∈ B (xAy → y ∈ z) ↔ ∀y(∃x ∈ B xAy → y ∈ z))
55	54	exbii 1474	. . . . 5 ⊢ (∃z∀y∀x ∈ B (xAy → y ∈ z) ↔ ∃z∀y(∃x ∈ B xAy → y ∈ z))
56	52, 55	sylib 127	. . . 4 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∃z∀y(∃x ∈ B xAy → y ∈ z))
57		abss 2982	. . . . 5 ⊢ ({y ∣ ∃x ∈ B xAy} ⊆ z ↔ ∀y(∃x ∈ B xAy → y ∈ z))
58	57	exbii 1474	. . . 4 ⊢ (∃z{y ∣ ∃x ∈ B xAy} ⊆ z ↔ ∃z∀y(∃x ∈ B xAy → y ∈ z))
59	56, 58	sylibr 137	. . 3 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∃z{y ∣ ∃x ∈ B xAy} ⊆ z)
60		dfima2 4593	. . . . 5 ⊢ (A “ B) = {y ∣ ∃x ∈ B xAy}
61	60	sseq1i 2942	. . . 4 ⊢ ((A “ B) ⊆ z ↔ {y ∣ ∃x ∈ B xAy} ⊆ z)
62	61	exbii 1474	. . 3 ⊢ (∃z(A “ B) ⊆ z ↔ ∃z{y ∣ ∃x ∈ B xAy} ⊆ z)
63	59, 62	sylibr 137	. 2 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → ∃z(A “ B) ⊆ z)
64		vex 2534	. . . 4 ⊢ z ∈ V
65	64	ssex 3864	. . 3 ⊢ ((A “ B) ⊆ z → (A “ B) ∈ V)
66	65	exlimiv 1467	. 2 ⊢ (∃z(A “ B) ⊆ z → (A “ B) ∈ V)
67	63, 66	syl 14	1 ⊢ ((Fun A ∧ B ∈ 𝐶 ∧ B ⊆ dom A) → (A “ B) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 871  ∀wal 1224   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  ∃!weu 1878  ∃*wmo 1879  {cab 2004  ∀wral 2280  ∃wrex 2281  Vcvv 2531   ⊆ wss 2890   class class class wbr 3734  dom cdm 4268   “ cima 4271  Rel wrel 4273  Fun wfun 4819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-fun 4827

This theorem is referenced by:  funimaexg  4905