ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnressn Unicode version

Theorem fnressn 5292
Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by NM, 9-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
fnressn  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }

Proof of Theorem fnressn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3378 . . . . . 6  { }  { }
21reseq2d 4555 . . . . 5  F  |`  { }  F  |` 
{ }
3 fveq2 5121 . . . . . . 7  F `  F `
4 opeq12 3542 . . . . . . 7  F `  F `  <. ,  F `  >.  <. ,  F `  >.
53, 4mpdan 398 . . . . . 6  <. ,  F `  >.  <. ,  F `  >.
65sneqd 3380 . . . . 5  { <. ,  F `
 >. }  { <. ,  F ` 
>. }
72, 6eqeq12d 2051 . . . 4  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }
87imbi2d 219 . . 3  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F ` 
>. }
9 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
109snss 3485 . . . . . 6  { }  C_
11 fnssres 4955 . . . . . 6  F  Fn  { }  C_  F  |`  { }  Fn 
{ }
1210, 11sylan2b 271 . . . . 5  F  Fn  F  |`  { }  Fn  { }
13 dffn2 4990 . . . . . . 7  F  |`  { }  Fn  { }  F  |`  { } : { } --> _V
149fsn2 5280 . . . . . . 7  F  |`  { } : { } --> _V  F  |`  { } `  _V  F  |`  { }  { <. ,  F  |`  { } `  >. }
1513, 14bitri 173 . . . . . 6  F  |`  { }  Fn  { }  F  |`  { } `

_V  F  |` 
{ }  { <. ,  F  |`  { } `  >. }
16 ssnid 3395 . . . . . . . . . . 11 
{ }
17 fvres 5141 . . . . . . . . . . 11  { }  F  |`  { } `  F `
1816, 17ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  F  |`  { } `  F `
1918opeq2i 3544 . . . . . . . . 9  <. ,  F  |`  { } `  >.  <. ,  F `  >.
2019sneqi 3379 . . . . . . . 8  { <. ,  F  |`  { } `
 >. }  { <. ,  F `  >. }
2120eqeq2i 2047 . . . . . . 7  F  |`  { }  { <. ,  F  |`  { } `  >. }  F  |`  { }  { <. ,  F `  >. }
22 snssi 3499 . . . . . . . . . 10  { }  C_
2322, 11sylan2 270 . . . . . . . . 9  F  Fn  F  |`  { }  Fn  { }
24 funfvex 5135 . . . . . . . . . 10  Fun  F  |`  { }  dom  F  |`  { }  F  |`  { } `  _V
2524funfni 4942 . . . . . . . . 9  F  |`  { }  Fn  { }  { }  F  |`  { } `  _V
2623, 16, 25sylancl 392 . . . . . . . 8  F  Fn  F  |`  { } `  _V
2726biantrurd 289 . . . . . . 7  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F  |`  { } `  >. }  F  |`  { } `  _V  F  |`  { }  { <. ,  F  |`  { } `  >. }
2821, 27syl5rbbr 184 . . . . . 6  F  Fn  F  |`  { } `  _V  F  |`  { }  { <. ,  F  |`  { } `  >. }  F  |`  { }  { <. ,  F `  >. }
2915, 28syl5bb 181 . . . . 5  F  Fn  F  |`  { }  Fn 
{ }  F  |`  { }  { <. ,  F `  >. }
3012, 29mpbid 135 . . . 4  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }
3130expcom 109 . . 3  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }
328, 31vtoclga 2613 . 2  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }
3332impcom 116 1  F  Fn  F  |`  { }  { <. ,  F `
 >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   {csn 3367   <.cop 3370    |` cres 4290    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fressnfv  5293  fseq1p1m1  8726
  Copyright terms: Public domain W3C validator