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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fseq1p1m1 | Unicode version |
Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.) |
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fseq1p1m1.1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr1 910 |
. . . . . 6
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2 | nn0p1nn 8221 |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | adantr 261 |
. . . . . . . 8
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4 | simpr2 911 |
. . . . . . . 8
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5 | fseq1p1m1.1 |
. . . . . . . . 9
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6 | fsng 5336 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | mpbiri 157 |
. . . . . . . 8
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8 | 3, 4, 7 | syl2anc 391 |
. . . . . . 7
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9 | 4 | snssd 3509 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | fssd 5055 |
. . . . . 6
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11 | fzp1disj 8942 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . . 6
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13 | fun2 5064 |
. . . . . 6
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14 | 1, 10, 12, 13 | syl21anc 1134 |
. . . . 5
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15 | 1z 8271 |
. . . . . . . 8
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16 | simpl 102 |
. . . . . . . . 9
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17 | nn0uz 8507 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 1m1e0 7984 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | fveq2i 5181 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 17, 19 | eqtr4i 2063 |
. . . . . . . . 9
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21 | 16, 20 | syl6eleq 2130 |
. . . . . . . 8
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22 | fzsuc2 8941 |
. . . . . . . 8
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23 | 15, 21, 22 | sylancr 393 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | eqcomd 2045 |
. . . . . 6
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25 | 24 | feq2d 5035 |
. . . . 5
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26 | 14, 25 | mpbid 135 |
. . . 4
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27 | simpr3 912 |
. . . . 5
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28 | 27 | feq1d 5034 |
. . . 4
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29 | 26, 28 | mpbird 156 |
. . 3
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30 | 27 | reseq1d 4611 |
. . . . . 6
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31 | ffn 5046 |
. . . . . . . . . 10
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32 | fnresdisj 5009 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 1, 31, 32 | 3syl 17 |
. . . . . . . . 9
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34 | 12, 33 | mpbid 135 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | uneq1d 3096 |
. . . . . . 7
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36 | resundir 4626 |
. . . . . . 7
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37 | uncom 3087 |
. . . . . . . 8
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38 | un0 3251 |
. . . . . . . 8
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39 | 37, 38 | eqtr2i 2061 |
. . . . . . 7
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40 | 35, 36, 39 | 3eqtr4g 2097 |
. . . . . 6
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41 | ffn 5046 |
. . . . . . 7
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42 | fnresdm 5008 |
. . . . . . 7
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43 | 10, 41, 42 | 3syl 17 |
. . . . . 6
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44 | 30, 40, 43 | 3eqtrd 2076 |
. . . . 5
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45 | 44 | fveq1d 5180 |
. . . 4
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46 | 16 | nn0zd 8358 |
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47 | 46 | peano2zd 8363 |
. . . . 5
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48 | snidg 3400 |
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49 | fvres 5198 |
. . . . 5
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50 | 47, 48, 49 | 3syl 17 |
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54 | 3, 4, 53 | syl2anc 391 |
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55 | 45, 50, 54 | 3eqtr3d 2080 |
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56 | 27 | reseq1d 4611 |
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57 | incom 3129 |
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62 | 58, 61 | mpbid 135 |
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63 | 62 | uneq2d 3097 |
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64 | resundir 4626 |
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65 | un0 3251 |
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67 | 63, 64, 66 | 3eqtr4g 2097 |
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69 | 1, 31, 68 | 3syl 17 |
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70 | 56, 67, 69 | 3eqtrrd 2077 |
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71 | 29, 55, 70 | 3jca 1084 |
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72 | simpr1 910 |
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73 | fzssp1 8930 |
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75 | 72, 73, 74 | sylancl 392 |
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76 | simpr3 912 |
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77 | 76 | feq1d 5034 |
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78 | 75, 77 | mpbird 156 |
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79 | simpr2 911 |
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81 | nnuz 8508 |
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82 | 80, 81 | syl6eleq 2130 |
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83 | eluzfz2 8896 |
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85 | 72, 84 | ffvelrnd 5303 |
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86 | 79, 85 | eqeltrrd 2115 |
. . 3
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87 | ffn 5046 |
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88 | 72, 87 | syl 14 |
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89 | fnressn 5349 |
. . . . . . . 8
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90 | 88, 84, 89 | syl2anc 391 |
. . . . . . 7
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91 | opeq2 3550 |
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92 | 91 | sneqd 3388 |
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93 | 79, 92 | syl 14 |
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94 | 90, 93 | eqtrd 2072 |
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95 | 94, 5 | syl6reqr 2091 |
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96 | 76, 95 | uneq12d 3098 |
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97 | simpl 102 |
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98 | 97, 20 | syl6eleq 2130 |
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99 | 15, 98, 22 | sylancr 393 |
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100 | 99 | reseq2d 4612 |
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101 | resundi 4625 |
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102 | 100, 101 | syl6req 2089 |
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103 | fnresdm 5008 |
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104 | 72, 87, 103 | 3syl 17 |
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105 | 96, 102, 104 | 3eqtrrd 2077 |
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106 | 78, 86, 105 | 3jca 1084 |
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107 | 71, 106 | impbida 528 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 ax-cnex 6975 ax-resscn 6976 ax-1cn 6977 ax-1re 6978 ax-icn 6979 ax-addcl 6980 ax-addrcl 6981 ax-mulcl 6982 ax-addcom 6984 ax-addass 6986 ax-distr 6988 ax-i2m1 6989 ax-0id 6992 ax-rnegex 6993 ax-cnre 6995 ax-pre-ltirr 6996 ax-pre-ltwlin 6997 ax-pre-lttrn 6998 ax-pre-apti 6999 ax-pre-ltadd 7000 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-nel 2207 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-riota 5468 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-i1p 6565 df-iplp 6566 df-iltp 6568 df-enr 6811 df-nr 6812 df-ltr 6815 df-0r 6816 df-1r 6817 df-0 6896 df-1 6897 df-r 6899 df-lt 6902 df-pnf 7062 df-mnf 7063 df-xr 7064 df-ltxr 7065 df-le 7066 df-sub 7184 df-neg 7185 df-inn 7915 df-n0 8182 df-z 8246 df-uz 8474 df-fz 8875 |
This theorem is referenced by: fseq1m1p1 8957 |
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