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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fseq1p1m1 | Unicode version |
Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.) |
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fseq1p1m1.1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr1 909 |
. . . . . 6
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2 | nn0p1nn 7997 |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | adantr 261 |
. . . . . . . 8
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4 | simpr2 910 |
. . . . . . . 8
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5 | fseq1p1m1.1 |
. . . . . . . . 9
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6 | fsng 5279 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | mpbiri 157 |
. . . . . . . 8
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8 | 3, 4, 7 | syl2anc 391 |
. . . . . . 7
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9 | 4 | snssd 3500 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | fssd 4998 |
. . . . . 6
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11 | fzp1disj 8712 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . . 6
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13 | fun2 5007 |
. . . . . 6
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14 | 1, 10, 12, 13 | syl21anc 1133 |
. . . . 5
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15 | 1z 8047 |
. . . . . . . 8
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16 | simpl 102 |
. . . . . . . . 9
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17 | nn0uz 8283 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 1m1e0 7764 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | fveq2i 5124 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 17, 19 | eqtr4i 2060 |
. . . . . . . . 9
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21 | 16, 20 | syl6eleq 2127 |
. . . . . . . 8
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22 | fzsuc2 8711 |
. . . . . . . 8
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23 | 15, 21, 22 | sylancr 393 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | eqcomd 2042 |
. . . . . 6
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25 | 24 | feq2d 4978 |
. . . . 5
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26 | 14, 25 | mpbid 135 |
. . . 4
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27 | simpr3 911 |
. . . . 5
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28 | 27 | feq1d 4977 |
. . . 4
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29 | 26, 28 | mpbird 156 |
. . 3
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30 | 27 | reseq1d 4554 |
. . . . . 6
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31 | ffn 4989 |
. . . . . . . . . 10
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32 | fnresdisj 4952 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 1, 31, 32 | 3syl 17 |
. . . . . . . . 9
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34 | 12, 33 | mpbid 135 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | uneq1d 3090 |
. . . . . . 7
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36 | resundir 4569 |
. . . . . . 7
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37 | uncom 3081 |
. . . . . . . 8
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38 | un0 3245 |
. . . . . . . 8
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39 | 37, 38 | eqtr2i 2058 |
. . . . . . 7
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40 | 35, 36, 39 | 3eqtr4g 2094 |
. . . . . 6
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41 | ffn 4989 |
. . . . . . 7
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42 | fnresdm 4951 |
. . . . . . 7
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43 | 10, 41, 42 | 3syl 17 |
. . . . . 6
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44 | 30, 40, 43 | 3eqtrd 2073 |
. . . . 5
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45 | 44 | fveq1d 5123 |
. . . 4
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46 | 16 | nn0zd 8134 |
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47 | 46 | peano2zd 8139 |
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48 | snidg 3392 |
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49 | fvres 5141 |
. . . . 5
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50 | 47, 48, 49 | 3syl 17 |
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51 | 5 | fveq1i 5122 |
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54 | 3, 4, 53 | syl2anc 391 |
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55 | 45, 50, 54 | 3eqtr3d 2077 |
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56 | 27 | reseq1d 4554 |
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57 | incom 3123 |
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60 | fnresdisj 4952 |
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62 | 58, 61 | mpbid 135 |
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63 | 62 | uneq2d 3091 |
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64 | resundir 4569 |
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65 | un0 3245 |
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67 | 63, 64, 66 | 3eqtr4g 2094 |
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68 | fnresdm 4951 |
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69 | 1, 31, 68 | 3syl 17 |
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70 | 56, 67, 69 | 3eqtrrd 2074 |
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71 | 29, 55, 70 | 3jca 1083 |
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72 | simpr1 909 |
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73 | fzssp1 8700 |
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74 | fssres 5009 |
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75 | 72, 73, 74 | sylancl 392 |
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76 | simpr3 911 |
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77 | 76 | feq1d 4977 |
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78 | 75, 77 | mpbird 156 |
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79 | simpr2 910 |
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80 | 2 | adantr 261 |
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81 | nnuz 8284 |
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82 | 80, 81 | syl6eleq 2127 |
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83 | eluzfz2 8666 |
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84 | 82, 83 | syl 14 |
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85 | 72, 84 | ffvelrnd 5246 |
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86 | 79, 85 | eqeltrrd 2112 |
. . 3
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87 | ffn 4989 |
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88 | 72, 87 | syl 14 |
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89 | fnressn 5292 |
. . . . . . . 8
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90 | 88, 84, 89 | syl2anc 391 |
. . . . . . 7
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91 | opeq2 3541 |
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92 | 91 | sneqd 3380 |
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93 | 79, 92 | syl 14 |
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94 | 90, 93 | eqtrd 2069 |
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95 | 94, 5 | syl6reqr 2088 |
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96 | 76, 95 | uneq12d 3092 |
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97 | simpl 102 |
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98 | 97, 20 | syl6eleq 2127 |
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99 | 15, 98, 22 | sylancr 393 |
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100 | 99 | reseq2d 4555 |
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101 | resundi 4568 |
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102 | 100, 101 | syl6req 2086 |
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103 | fnresdm 4951 |
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104 | 72, 87, 103 | 3syl 17 |
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105 | 96, 102, 104 | 3eqtrrd 2074 |
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106 | 78, 86, 105 | 3jca 1083 |
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107 | 71, 106 | impbida 528 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-13 1401 ax-14 1402 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-coll 3863 ax-sep 3866 ax-nul 3874 ax-pow 3918 ax-pr 3935 ax-un 4136 ax-setind 4220 ax-iinf 4254 ax-cnex 6774 ax-resscn 6775 ax-1cn 6776 ax-1re 6777 ax-icn 6778 ax-addcl 6779 ax-addrcl 6780 ax-mulcl 6781 ax-addcom 6783 ax-addass 6785 ax-distr 6787 ax-i2m1 6788 ax-0id 6791 ax-rnegex 6792 ax-cnre 6794 ax-pre-ltirr 6795 ax-pre-ltwlin 6796 ax-pre-lttrn 6797 ax-pre-apti 6798 ax-pre-ltadd 6799 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 742 df-3or 885 df-3an 886 df-tru 1245 df-fal 1248 df-nf 1347 df-sb 1643 df-eu 1900 df-mo 1901 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ne 2203 df-nel 2204 df-ral 2305 df-rex 2306 df-reu 2307 df-rab 2309 df-v 2553 df-sbc 2759 df-csb 2847 df-dif 2914 df-un 2916 df-in 2918 df-ss 2925 df-nul 3219 df-pw 3353 df-sn 3373 df-pr 3374 df-op 3376 df-uni 3572 df-int 3607 df-iun 3650 df-br 3756 df-opab 3810 df-mpt 3811 df-tr 3846 df-eprel 4017 df-id 4021 df-po 4024 df-iso 4025 df-iord 4069 df-on 4071 df-suc 4074 df-iom 4257 df-xp 4294 df-rel 4295 df-cnv 4296 df-co 4297 df-dm 4298 df-rn 4299 df-res 4300 df-ima 4301 df-iota 4810 df-fun 4847 df-fn 4848 df-f 4849 df-f1 4850 df-fo 4851 df-f1o 4852 df-fv 4853 df-riota 5411 df-ov 5458 df-oprab 5459 df-mpt2 5460 df-1st 5709 df-2nd 5710 df-recs 5861 df-irdg 5897 df-1o 5940 df-2o 5941 df-oadd 5944 df-omul 5945 df-er 6042 df-ec 6044 df-qs 6048 df-ni 6288 df-pli 6289 df-mi 6290 df-lti 6291 df-plpq 6328 df-mpq 6329 df-enq 6331 df-nqqs 6332 df-plqqs 6333 df-mqqs 6334 df-1nqqs 6335 df-rq 6336 df-ltnqqs 6337 df-enq0 6407 df-nq0 6408 df-0nq0 6409 df-plq0 6410 df-mq0 6411 df-inp 6449 df-i1p 6450 df-iplp 6451 df-iltp 6453 df-enr 6654 df-nr 6655 df-ltr 6658 df-0r 6659 df-1r 6660 df-0 6718 df-1 6719 df-r 6721 df-lt 6724 df-pnf 6859 df-mnf 6860 df-xr 6861 df-ltxr 6862 df-le 6863 df-sub 6981 df-neg 6982 df-inn 7696 df-n0 7958 df-z 8022 df-uz 8250 df-fz 8645 |
This theorem is referenced by: fseq1m1p1 8727 |
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