ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fseq1p1m1 Unicode version

Theorem fseq1p1m1 8726
Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fseq1p1m1.1  H  { <. N  + 
1 ,  >. }
Assertion
Ref Expression
fseq1p1m1  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G : 1 ... N  +  1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N

Proof of Theorem fseq1p1m1
StepHypRef Expression
1 simpr1 909 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F : 1 ... N -->
2 nn0p1nn 7997 . . . . . . . . 9  N  NN0  N  +  1  NN
32adantr 261 . . . . . . . 8  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  N  +  1  NN
4 simpr2 910 . . . . . . . 8  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H
5 fseq1p1m1.1 . . . . . . . . 9  H  { <. N  + 
1 ,  >. }
6 fsng 5279 . . . . . . . . 9  N  +  1  NN  H : { N  +  1 } --> { }  H  { <. N  +  1 ,  >. }
75, 6mpbiri 157 . . . . . . . 8  N  +  1  NN  H : { N  +  1 } --> { }
83, 4, 7syl2anc 391 . . . . . . 7  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  H : { N  +  1 } --> { }
94snssd 3500 . . . . . . 7  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  { }  C_
108, 9fssd 4998 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  H : { N  +  1 } -->
11 fzp1disj 8712 . . . . . . 7  1 ... N  i^i  { N  +  1 }  (/)
1211a1i 9 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  1 ... N  i^i  { N  +  1 }  (/)
13 fun2 5007 . . . . . 6  F : 1 ... N -->  H : { N  + 
1 } -->  1 ... N  i^i  { N  +  1 }  (/)  F  u.  H : 1 ... N  u.  { N  +  1 }
-->
141, 10, 12, 13syl21anc 1133 . . . . 5  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  u.  H : 1 ... N  u. 
{ N  + 
1 } -->
15 1z 8047 . . . . . . . 8  1  ZZ
16 simpl 102 . . . . . . . . 9  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  N  NN0
17 nn0uz 8283 . . . . . . . . . 10  NN0  ZZ>= `  0
18 1m1e0 7764 . . . . . . . . . . 11  1  -  1  0
1918fveq2i 5124 . . . . . . . . . 10  ZZ>= `  1  -  1 
ZZ>= `  0
2017, 19eqtr4i 2060 . . . . . . . . 9  NN0  ZZ>= `  1  -  1
2116, 20syl6eleq 2127 . . . . . . . 8  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  N  ZZ>= `  1  -  1
22 fzsuc2 8711 . . . . . . . 8  1  ZZ  N  ZZ>= `  1  -  1  1 ... N  +  1  1 ... N  u.  { N  +  1 }
2315, 21, 22sylancr 393 . . . . . . 7  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  1 ... N  +  1  1 ... N  u.  { N  +  1 }
2423eqcomd 2042 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  1 ... N  u.  { N  +  1 }  1 ... N  +  1
2524feq2d 4978 . . . . 5  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  u.  H : 1 ... N  u.  { N  +  1 }
-->  F  u.  H : 1 ... N  +  1 -->
2614, 25mpbid 135 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  u.  H : 1 ... N  +  1 -->
27 simpr3 911 . . . . 5  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G  F  u.  H
2827feq1d 4977 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G : 1 ... N  +  1 -->  F  u.  H : 1 ... N  +  1 -->
2926, 28mpbird 156 . . 3  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G : 1 ... N  + 
1 -->
3027reseq1d 4554 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G  |`  { N  +  1 }  F  u.  H  |`  { N  +  1 }
31 ffn 4989 . . . . . . . . . 10  F : 1 ... N -->  F  Fn  1 ... N
32 fnresdisj 4952 . . . . . . . . . 10  F  Fn  1 ... N  1 ... N  i^i  { N  +  1 }  (/)  F  |`  { N  + 
1 }  (/)
331, 31, 323syl 17 . . . . . . . . 9  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  1 ... N  i^i 
{ N  + 
1 }  (/)  F  |` 
{ N  + 
1 }  (/)
3412, 33mpbid 135 . . . . . . . 8  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  |`  { N  +  1 }  (/)
3534uneq1d 3090 . . . . . . 7  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  |`  { N  + 
1 }  u.  H  |`  { N  + 
1 }  (/)  u.  H  |`  { N  +  1 }
36 resundir 4569 . . . . . . 7  F  u.  H  |`  { N  + 
1 }  F  |`  { N  + 
1 }  u.  H  |`  { N  + 
1 }
37 uncom 3081 . . . . . . . 8  (/)  u.  H  |`  { N  +  1 }  H  |`  { N  + 
1 }  u.  (/)
38 un0 3245 . . . . . . . 8  H  |`  { N  +  1 }  u.  (/)  H  |`  { N  +  1 }
3937, 38eqtr2i 2058 . . . . . . 7  H  |`  { N  + 
1 }  (/)  u.  H  |`  { N  +  1 }
4035, 36, 393eqtr4g 2094 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  u.  H  |`  { N  +  1 }  H  |`  { N  +  1 }
41 ffn 4989 . . . . . . 7  H : { N  +  1 } -->  H  Fn  { N  +  1 }
42 fnresdm 4951 . . . . . . 7  H  Fn  { N  +  1 }  H  |`  { N  +  1 }  H
4310, 41, 423syl 17 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  H  |`  { N  +  1 }  H
4430, 40, 433eqtrd 2073 . . . . 5  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G  |`  { N  +  1 }  H
4544fveq1d 5123 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G  |`  { N  + 
1 } `
 N  + 
1  H `  N  +  1
4616nn0zd 8134 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  N  ZZ
4746peano2zd 8139 . . . . 5  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  N  +  1  ZZ
48 snidg 3392 . . . . 5  N  +  1  ZZ  N  +  1  { N  +  1 }
49 fvres 5141 . . . . 5  N  +  1  { N  +  1 }  G  |`  { N  + 
1 } `
 N  + 
1  G `  N  +  1
5047, 48, 493syl 17 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G  |`  { N  + 
1 } `
 N  + 
1  G `  N  +  1
515fveq1i 5122 . . . . . 6  H `
 N  + 
1  { <. N  +  1 ,  >. } `  N  +  1
52 fvsng 5302 . . . . . 6  N  +  1  NN  { <. N  +  1 ,  >. } `  N  +  1
5351, 52syl5eq 2081 . . . . 5  N  +  1  NN  H `  N  +  1
543, 4, 53syl2anc 391 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  H `  N  +  1
5545, 50, 543eqtr3d 2077 . . 3  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G `  N  +  1
5627reseq1d 4554 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G  |` 
1 ... N  F  u.  H  |`  1 ... N
57 incom 3123 . . . . . . . 8  { N  +  1 }  i^i 
1 ... N  1 ... N  i^i 
{ N  + 
1 }
5857, 12syl5eq 2081 . . . . . . 7  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  { N  +  1 }  i^i  1 ... N  (/)
59 ffn 4989 . . . . . . . 8  H : { N  +  1 } --> { }  H  Fn  { N  + 
1 }
60 fnresdisj 4952 . . . . . . . 8  H  Fn  { N  +  1 }  { N  +  1 }  i^i  1 ... N  (/)  H  |`  1 ... N  (/)
618, 59, 603syl 17 . . . . . . 7  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  { N  +  1 }  i^i  1 ... N  (/)  H  |`  1 ... N  (/)
6258, 61mpbid 135 . . . . . 6  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  H  |` 
1 ... N  (/)
6362uneq2d 3091 . . . . 5  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  |`  1 ... N  u.  H  |`  1 ... N  F  |`  1 ... N  u.  (/)
64 resundir 4569 . . . . 5  F  u.  H  |`  1 ... N  F  |`  1 ... N  u.  H  |`  1 ... N
65 un0 3245 . . . . . 6  F  |`  1 ... N  u.  (/)  F  |`  1 ... N
6665eqcomi 2041 . . . . 5  F  |`  1 ... N  F  |`  1 ... N  u.  (/)
6763, 64, 663eqtr4g 2094 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  u.  H  |`  1 ... N  F  |`  1 ... N
68 fnresdm 4951 . . . . 5  F  Fn  1 ... N  F  |`  1 ... N  F
691, 31, 683syl 17 . . . 4  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  |` 
1 ... N  F
7056, 67, 693eqtrrd 2074 . . 3  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  F  G  |`  1 ... N
7129, 55, 703jca 1083 . 2  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G : 1 ... N  +  1 -->  G `
 N  + 
1  F  G  |` 
1 ... N
72 simpr1 909 . . . . 5  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G : 1 ... N  +  1 -->
73 fzssp1 8700 . . . . 5  1 ... N  C_  1 ... N  +  1
74 fssres 5009 . . . . 5  G : 1 ... N  + 
1 -->  1 ... N  C_  1 ... N  +  1  G  |`  1 ... N : 1 ... N -->
7572, 73, 74sylancl 392 . . . 4  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  |`  1 ... N : 1 ... N
-->
76 simpr3 911 . . . . 5  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  F  G  |` 
1 ... N
7776feq1d 4977 . . . 4  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  F : 1 ... N -->  G  |`  1 ... N : 1 ... N -->
7875, 77mpbird 156 . . 3  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  F : 1 ... N -->
79 simpr2 910 . . . 4  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G `  N  +  1
802adantr 261 . . . . . . 7  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  N  +  1  NN
81 nnuz 8284 . . . . . . 7  NN  ZZ>= `  1
8280, 81syl6eleq 2127 . . . . . 6  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  N  +  1  ZZ>= `  1
83 eluzfz2 8666 . . . . . 6  N  +  1  ZZ>= `  1  N  + 
1  1 ... N  +  1
8482, 83syl 14 . . . . 5  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  N  +  1  1 ... N  +  1
8572, 84ffvelrnd 5246 . . . 4  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G `  N  +  1
8679, 85eqeltrrd 2112 . . 3  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N
87 ffn 4989 . . . . . . . . 9  G : 1 ... N  +  1 -->  G  Fn  1 ... N  +  1
8872, 87syl 14 . . . . . . . 8  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  Fn  1 ... N  +  1
89 fnressn 5292 . . . . . . . 8  G  Fn  1 ... N  + 
1  N  +  1  1 ... N  +  1  G  |`  { N  +  1 }  { <. N  +  1 ,  G `
 N  + 
1 >. }
9088, 84, 89syl2anc 391 . . . . . . 7  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  |`  { N  +  1 }  { <. N  +  1 ,  G `  N  +  1 >. }
91 opeq2 3541 . . . . . . . . 9  G `  N  +  1  <. N  +  1 ,  G `  N  +  1 >.  <. N  +  1 ,  >.
9291sneqd 3380 . . . . . . . 8  G `  N  +  1  { <. N  +  1 ,  G `
 N  + 
1 >. }  { <. N  +  1 ,  >. }
9379, 92syl 14 . . . . . . 7  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  { <. N  +  1 ,  G `
 N  + 
1 >. }  { <. N  +  1 ,  >. }
9490, 93eqtrd 2069 . . . . . 6  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  |`  { N  +  1 }  { <. N  +  1 ,  >. }
9594, 5syl6reqr 2088 . . . . 5  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  H  G  |`  { N  +  1 }
9676, 95uneq12d 3092 . . . 4  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  F  u.  H  G  |`  1 ... N  u.  G  |`  { N  +  1 }
97 simpl 102 . . . . . . . 8  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  N  NN0
9897, 20syl6eleq 2127 . . . . . . 7  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  N  ZZ>= `  1  -  1
9915, 98, 22sylancr 393 . . . . . 6  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N 
1 ... N  + 
1  1 ... N  u.  { N  +  1 }
10099reseq2d 4555 . . . . 5  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  |`  1 ... N  +  1  G  |`  1 ... N  u.  { N  +  1 }
101 resundi 4568 . . . . 5  G  |`  1 ... N  u.  { N  +  1 }  G  |`  1 ... N  u.  G  |`  { N  +  1 }
102100, 101syl6req 2086 . . . 4  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  |`  1 ... N  u.  G  |`  { N  + 
1 }  G  |`  1 ... N  +  1
103 fnresdm 4951 . . . . 5  G  Fn  1 ... N  +  1  G  |`  1 ... N  +  1  G
10472, 87, 1033syl 17 . . . 4  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  |`  1 ... N  +  1  G
10596, 102, 1043eqtrrd 2074 . . 3  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  G  F  u.  H
10678, 86, 1053jca 1083 . 2  N  NN0  G : 1 ... N  + 
1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H
10771, 106impbida 528 1  N  NN0  F : 1 ... N -->  G  F  u.  H  G : 1 ... N  +  1 -->  G `  N  +  1  F  G  |` 
1 ... N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909    i^i cin 2910    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370    |` cres 4290    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    - cmin 6979   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  fseq1m1p1  8727
  Copyright terms: Public domain W3C validator