Theorem fseq1p1m1 8726

Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fseq1p1m1.1	|- H = { <.( N + 1) , B >. }

Assertion

Ref	Expression
fseq1p1m1	|- ( N e. NN0 -> (( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H)) <-> ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))))

Proof of Theorem fseq1p1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 909	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> F :( 1 ... N) -->A)
2		nn0p1nn 7997	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1) e. NN)
3	2	adantr 261	. . . . . . . 8 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( N + 1) e. NN)
4		simpr2 910	. . . . . . . 8 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> B e. A)
5		fseq1p1m1.1	. . . . . . . . 9 |- H = { <.( N + 1) , B >. }
6		fsng 5279	. . . . . . . . 9 |- ((( N + 1) e. NN /\ B e. A) -> ( H : {( N + 1) } --> {B } <-> H = { <.( N + 1) , B >. }))
7	5, 6	mpbiri 157	. . . . . . . 8 |- ((( N + 1) e. NN /\ B e. A) -> H : {( N + 1) } --> {B })
8	3, 4, 7	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> H : {( N + 1) } --> {B })
9	4	snssd 3500	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> {B } C_ A)
10	8, 9	fssd 4998	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> H : {( N + 1) } -->A)
11		fzp1disj 8712	. . . . . . 7 |- (( 1 ... N) i^i {( N + 1) }) = (/)
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( 1 ... N) i^i {( N + 1) }) = (/))
13		fun2 5007	. . . . . 6 |- ((( F :( 1 ... N) -->A /\ H : {( N + 1) } -->A) /\ (( 1 ... N) i^i {( N + 1) }) = (/)) -> ( F u. H) :(( 1 ... N) u. {( N + 1) }) -->A)
14	1, 10, 12, 13	syl21anc 1133	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( F u. H) :(( 1 ... N) u. {( N + 1) }) -->A)
15		1z 8047	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
16		simpl 102	. . . . . . . . 9 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> N e. NN0)
17		nn0uz 8283	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0)
18		1m1e0 7764	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1) = 0
19	18	fveq2i 5124	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1)) = ( ZZ>= ` 0)
20	17, 19	eqtr4i 2060	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1))
21	16, 20	syl6eleq 2127	. . . . . . . 8 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1)))
22		fzsuc2 8711	. . . . . . . 8 |- (( 1 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1))) -> ( 1 ...( N + 1)) = (( 1 ... N) u. {( N + 1) }))
23	15, 21, 22	sylancr 393	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( 1 ...( N + 1)) = (( 1 ... N) u. {( N + 1) }))
24	23	eqcomd 2042	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( 1 ... N) u. {( N + 1) }) = ( 1 ...( N + 1)))
25	24	feq2d 4978	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( F u. H) :(( 1 ... N) u. {( N + 1) }) -->A <-> ( F u. H) :( 1 ...( N + 1)) -->A))
26	14, 25	mpbid 135	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( F u. H) :( 1 ...( N + 1)) -->A)
27		simpr3 911	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> G = ( F u. H))
28	27	feq1d 4977	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A <-> ( F u. H) :( 1 ...( N + 1)) -->A))
29	26, 28	mpbird 156	. . 3 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> G :( 1 ...( N + 1)) -->A)
30	27	reseq1d 4554	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( G |` {( N + 1) }) = (( F u. H) |` {( N + 1) }))
31		ffn 4989	. . . . . . . . . 10 |- ( F :( 1 ... N) -->A -> F Fn ( 1 ... N))
32		fnresdisj 4952	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn ( 1 ... N) -> ((( 1 ... N) i^i {( N + 1) }) = (/) <-> ( F |` {( N + 1) }) = (/)))
33	1, 31, 32	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ((( 1 ... N) i^i {( N + 1) }) = (/) <-> ( F |` {( N + 1) }) = (/)))
34	12, 33	mpbid 135	. . . . . . . 8 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( F |` {( N + 1) }) = (/))
35	34	uneq1d 3090	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( F |` {( N + 1) }) u. ( H |` {( N + 1) })) = ( (/) u. ( H |` {( N + 1) })))
36		resundir 4569	. . . . . . 7 |- (( F u. H) |` {( N + 1) }) = (( F |` {( N + 1) }) u. ( H |` {( N + 1) }))
37		uncom 3081	. . . . . . . 8 |- ( (/) u. ( H |` {( N + 1) })) = (( H |` {( N + 1) }) u. (/))
38		un0 3245	. . . . . . . 8 |- (( H |` {( N + 1) }) u. (/)) = ( H |` {( N + 1) })
39	37, 38	eqtr2i 2058	. . . . . . 7 |- ( H |` {( N + 1) }) = ( (/) u. ( H |` {( N + 1) }))
40	35, 36, 39	3eqtr4g 2094	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( F u. H) |` {( N + 1) }) = ( H |` {( N + 1) }))
41		ffn 4989	. . . . . . 7 |- ( H : {( N + 1) } -->A -> H Fn {( N + 1) })
42		fnresdm 4951	. . . . . . 7 |- ( H Fn {( N + 1) } -> ( H |` {( N + 1) }) = H)
43	10, 41, 42	3syl 17	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( H |` {( N + 1) }) = H)
44	30, 40, 43	3eqtrd 2073	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( G |` {( N + 1) }) = H)
45	44	fveq1d 5123	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( G |` {( N + 1) }) ` ( N + 1)) = ( H ` ( N + 1)))
46	16	nn0zd 8134	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> N e. ZZ)
47	46	peano2zd 8139	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( N + 1) e. ZZ)
48		snidg 3392	. . . . 5 |- (( N + 1) e. ZZ -> ( N + 1) e. {( N + 1) })
49		fvres 5141	. . . . 5 |- (( N + 1) e. {( N + 1) } -> (( G |` {( N + 1) }) ` ( N + 1)) = ( G ` ( N + 1)))
50	47, 48, 49	3syl 17	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( G |` {( N + 1) }) ` ( N + 1)) = ( G ` ( N + 1)))
51	5	fveq1i 5122	. . . . . 6 |- ( H ` ( N + 1)) = ( { <.( N + 1) , B >. } ` ( N + 1))
52		fvsng 5302	. . . . . 6 |- ((( N + 1) e. NN /\ B e. A) -> ( { <.( N + 1) , B >. } ` ( N + 1)) = B)
53	51, 52	syl5eq 2081	. . . . 5 |- ((( N + 1) e. NN /\ B e. A) -> ( H ` ( N + 1)) = B)
54	3, 4, 53	syl2anc 391	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( H ` ( N + 1)) = B)
55	45, 50, 54	3eqtr3d 2077	. . 3 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( G ` ( N + 1)) = B)
56	27	reseq1d 4554	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( G |` ( 1 ... N)) = (( F u. H) |` ( 1 ... N)))
57		incom 3123	. . . . . . . 8 |- ( {( N + 1) } i^i ( 1 ... N)) = (( 1 ... N) i^i {( N + 1) })
58	57, 12	syl5eq 2081	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( {( N + 1) } i^i ( 1 ... N)) = (/))
59		ffn 4989	. . . . . . . 8 |- ( H : {( N + 1) } --> {B } -> H Fn {( N + 1) })
60		fnresdisj 4952	. . . . . . . 8 |- ( H Fn {( N + 1) } -> (( {( N + 1) } i^i ( 1 ... N)) = (/) <-> ( H |` ( 1 ... N)) = (/)))
61	8, 59, 60	3syl 17	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( {( N + 1) } i^i ( 1 ... N)) = (/) <-> ( H |` ( 1 ... N)) = (/)))
62	58, 61	mpbid 135	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( H |` ( 1 ... N)) = (/))
63	62	uneq2d 3091	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( F |` ( 1 ... N)) u. ( H |` ( 1 ... N))) = (( F |` ( 1 ... N)) u. (/)))
64		resundir 4569	. . . . 5 |- (( F u. H) |` ( 1 ... N)) = (( F |` ( 1 ... N)) u. ( H |` ( 1 ... N)))
65		un0 3245	. . . . . 6 |- (( F |` ( 1 ... N)) u. (/)) = ( F |` ( 1 ... N))
66	65	eqcomi 2041	. . . . 5 |- ( F |` ( 1 ... N)) = (( F |` ( 1 ... N)) u. (/))
67	63, 64, 66	3eqtr4g 2094	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> (( F u. H) |` ( 1 ... N)) = ( F |` ( 1 ... N)))
68		fnresdm 4951	. . . . 5 |- ( F Fn ( 1 ... N) -> ( F |` ( 1 ... N)) = F)
69	1, 31, 68	3syl 17	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( F |` ( 1 ... N)) = F)
70	56, 67, 69	3eqtrrd 2074	. . 3 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> F = ( G |` ( 1 ... N)))
71	29, 55, 70	3jca 1083	. 2 |- (( N e. NN0 /\ ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H))) -> ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N))))
72		simpr1 909	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> G :( 1 ...( N + 1)) -->A)
73		fzssp1 8700	. . . . 5 |- ( 1 ... N) C_ ( 1 ...( N + 1))
74		fssres 5009	. . . . 5 |- (( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( 1 ... N) C_ ( 1 ...( N + 1))) -> ( G |` ( 1 ... N)) :( 1 ... N) -->A)
75	72, 73, 74	sylancl 392	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( G |` ( 1 ... N)) :( 1 ... N) -->A)
76		simpr3 911	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> F = ( G |` ( 1 ... N)))
77	76	feq1d 4977	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( F :( 1 ... N) -->A <-> ( G |` ( 1 ... N)) :( 1 ... N) -->A))
78	75, 77	mpbird 156	. . 3 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> F :( 1 ... N) -->A)
79		simpr2 910	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( G ` ( N + 1)) = B)
80	2	adantr 261	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( N + 1) e. NN)
81		nnuz 8284	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1)
82	80, 81	syl6eleq 2127	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( N + 1) e. ( ZZ>= ` 1))
83		eluzfz2 8666	. . . . . 6 |- (( N + 1) e. ( ZZ>= ` 1) -> ( N + 1) e. ( 1 ...( N + 1)))
84	82, 83	syl 14	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( N + 1) e. ( 1 ...( N + 1)))
85	72, 84	ffvelrnd 5246	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( G ` ( N + 1)) e. A)
86	79, 85	eqeltrrd 2112	. . 3 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> B e. A)
87		ffn 4989	. . . . . . . . 9 |- ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A -> G Fn ( 1 ...( N + 1)))
88	72, 87	syl 14	. . . . . . . 8 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> G Fn ( 1 ...( N + 1)))
89		fnressn 5292	. . . . . . . 8 |- (( G Fn ( 1 ...( N + 1)) /\ ( N + 1) e. ( 1 ...( N + 1))) -> ( G |` {( N + 1) }) = { <.( N + 1) , ( G ` ( N + 1)) >. })
90	88, 84, 89	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( G |` {( N + 1) }) = { <.( N + 1) , ( G ` ( N + 1)) >. })
91		opeq2 3541	. . . . . . . . 9 |- (( G ` ( N + 1)) = B -> <.( N + 1) , ( G ` ( N + 1)) >. = <.( N + 1) , B >.)
92	91	sneqd 3380	. . . . . . . 8 |- (( G ` ( N + 1)) = B -> { <.( N + 1) , ( G ` ( N + 1)) >. } = { <.( N + 1) , B >. })
93	79, 92	syl 14	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> { <.( N + 1) , ( G ` ( N + 1)) >. } = { <.( N + 1) , B >. })
94	90, 93	eqtrd 2069	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( G |` {( N + 1) }) = { <.( N + 1) , B >. })
95	94, 5	syl6reqr 2088	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> H = ( G |` {( N + 1) }))
96	76, 95	uneq12d 3092	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( F u. H) = (( G |` ( 1 ... N)) u. ( G |` {( N + 1) })))
97		simpl 102	. . . . . . . 8 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> N e. NN0)
98	97, 20	syl6eleq 2127	. . . . . . 7 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1)))
99	15, 98, 22	sylancr 393	. . . . . 6 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( 1 ...( N + 1)) = (( 1 ... N) u. {( N + 1) }))
100	99	reseq2d 4555	. . . . 5 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( G |` ( 1 ...( N + 1))) = ( G |` (( 1 ... N) u. {( N + 1) })))
101		resundi 4568	. . . . 5 |- ( G |` (( 1 ... N) u. {( N + 1) })) = (( G |` ( 1 ... N)) u. ( G |` {( N + 1) }))
102	100, 101	syl6req 2086	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> (( G |` ( 1 ... N)) u. ( G |` {( N + 1) })) = ( G |` ( 1 ...( N + 1))))
103		fnresdm 4951	. . . . 5 |- ( G Fn ( 1 ...( N + 1)) -> ( G |` ( 1 ...( N + 1))) = G)
104	72, 87, 103	3syl 17	. . . 4 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( G |` ( 1 ...( N + 1))) = G)
105	96, 102, 104	3eqtrrd 2074	. . 3 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> G = ( F u. H))
106	78, 86, 105	3jca 1083	. 2 |- (( N e. NN0 /\ ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))) -> ( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H)))
107	71, 106	impbida 528	1 |- ( N e. NN0 -> (( F :( 1 ... N) -->A /\ B e. A /\ G = ( F u. H)) <-> ( G :( 1 ...( N + 1)) -->A /\ ( G ` ( N + 1)) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... N)))))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   u. cun 2909   i^i cin 2910   C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   |` cres 4290   Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   0cc0 6711   1c1 6712   + caddc 6714   - cmin 6979   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by:  fseq1m1p1  8727