Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsn2 GIF version

Theorem fsn2 5337
 Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
fsn2.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fsn2 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2
StepHypRef Expression
1 ffn 5046 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐹 Fn {𝐴})
2 fsn2.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
32snid 3402 . . . 4 𝐴 ∈ {𝐴}
4 funfvex 5192 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ V)
54funfni 4999 . . . 4 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹𝐴) ∈ V)
63, 5mpan2 401 . . 3 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹𝐴) ∈ V)
71, 6syl 14 . 2 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ V)
8 elex 2566 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ V)
98adantr 261 . 2 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ V)
10 ffvelrn 5300 . . . . . 6 ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
113, 10mpan2 401 . . . . 5 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
12 dffn3 5053 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
1312biimpi 113 . . . . . . 7 (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
14 imadmrn 4678 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
15 fndm 4998 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
1615imaeq2d 4668 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
1714, 16syl5eqr 2086 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
18 fnsnfv 5232 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
193, 18mpan2 401 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
2017, 19eqtr4d 2075 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)})
21 feq3 5032 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
2220, 21syl 14 . . . . . . 7 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
2313, 22mpbid 135 . . . . . 6 (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)})
241, 23syl 14 . . . . 5 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)})
2511, 24jca 290 . . . 4 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
26 snssi 3508 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵)
27 fss 5054 . . . . . 6 ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ∧ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
2827ancoms 255 . . . . 5 (({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
2926, 28sylan 267 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
3025, 29impbii 117 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
31 fsng 5336 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝐴) ∈ V) → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
322, 31mpan 400 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
3332anbi2d 437 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
3430, 33syl5bb 181 . 2 ((𝐹𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
357, 9, 34pm5.21nii 620 1 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917  {csn 3375  ⟨cop 3378  dom cdm 4345  ran crn 4346   “ cima 4348   Fn wfn 4897  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910 This theorem is referenced by:  fnressn  5349  fressnfv  5350  en1  6279
 Copyright terms: Public domain W3C validator