ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsng Unicode version

Theorem xpsng 5338
Description: The cross product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 5083 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B }
)
21adantl 262 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B } )
3 fsng 5336 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { A }  X.  { B }
) : { A }
--> { B }  <->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } ) )
42, 3mpbid 135 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   {csn 3375   <.cop 3378    X. cxp 4343   -->wf 4898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909
This theorem is referenced by:  xpsn  5339  dfmptg  5342  fmptsn  5352
  Copyright terms: Public domain W3C validator