ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnom GIF version

Theorem fnom 5973
Description: Functionality and domain of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnom ·𝑜 Fn (On × On)

Proof of Theorem fnom
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-omul 5949 . 2 ·𝑜 = (x On, y On ↦ (rec((z V ↦ (z +𝑜 x)), ∅)‘y))
2 vex 2557 . . 3 y V
3 0ex 3878 . . . 4 V
4 vex 2557 . . . . 5 x V
5 omfnex 5972 . . . . 5 (x V → (z V ↦ (z +𝑜 x)) Fn V)
64, 5ax-mp 7 . . . 4 (z V ↦ (z +𝑜 x)) Fn V
73, 6rdgexg 5920 . . 3 (y V → (rec((z V ↦ (z +𝑜 x)), ∅)‘y) V)
82, 7ax-mp 7 . 2 (rec((z V ↦ (z +𝑜 x)), ∅)‘y) V
91, 8fnmpt2i 5775 1 ·𝑜 Fn (On × On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wcel 1393  Vcvv 2554  c0 3221  cmpt 3812  Oncon0 4069   × cxp 4289   Fn wfn 4843  cfv 4848  (class class class)co 5458  reccrdg 5900   +𝑜 coa 5941   ·𝑜 comu 5942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-id 4024  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-oadd 5948  df-omul 5949
This theorem is referenced by:  dmmulpi  6314
  Copyright terms: Public domain W3C validator