ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdg0 GIF version

Theorem rdg0 5974
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rdg0 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3884 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 dmeq 4535 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
3 fveq1 5177 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ∅ → (𝑔𝑥) = (∅‘𝑥))
43fveq2d 5182 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝐹‘(𝑔𝑥)) = (𝐹‘(∅‘𝑥)))
52, 4iuneq12d 3681 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) = 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
65uneq2d 3097 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
7 eqid 2040 . . . . . 6 (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
8 rdg.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
9 dm0 4549 . . . . . . . . . 10 dom ∅ = ∅
10 iuneq1 3670 . . . . . . . . . 10 (dom ∅ = ∅ → 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)))
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥))
12 0iun 3714 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1311, 12eqtri 2060 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1413, 1eqeltri 2110 . . . . . . 7 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) ∈ V
158, 14unex 4176 . . . . . 6 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) ∈ V
166, 7, 15fvmpt 5249 . . . . 5 (∅ ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
171, 16ax-mp 7 . . . 4 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
1817, 15eqeltri 2110 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V
19 df-irdg 5957 . . . 4 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
2019tfr0 5937 . . 3 (((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅))
2118, 20ax-mp 7 . 2 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅)
2213uneq2i 3094 . . . 4 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) = (𝐴 ∪ ∅)
2317, 22eqtri 2060 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 ∪ ∅)
24 un0 3251 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
2523, 24eqtri 2060 . 2 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = 𝐴
2621, 25eqtri 2060 1 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1243  wcel 1393  Vcvv 2557  cun 2915  c0 3224   ciun 3657  cmpt 3818  dom cdm 4345  cfv 4902  reccrdg 5956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-recs 5920  df-irdg 5957
This theorem is referenced by:  rdg0g  5975  om0  6038
  Copyright terms: Public domain W3C validator