Theorem unex 4176

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unex	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	unipr 3594	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		prexgOLD 3946	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 402	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
6	5	uniex 4174	. 2 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ V
7	3, 6	eqeltrri 2111	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ∪ cun 2915  {cpr 3376  ∪ cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581

This theorem is referenced by:  unexb  4177  rdg0  5974  unen  6293  findcard2  6346  findcard2s  6347  ac6sfi  6352  nn0ex  8187  xrex  8756