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Theorem rdgon 5893
Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgon.1 (φ𝐹 Fn V)
rdgon.2 (φA On)
rdgon.3 (φx On (𝐹x) On)
Assertion
Ref Expression
rdgon ((φ B On) → (rec(𝐹, A)‘B) On)
Distinct variable groups:   x,A   x,𝐹   φ,x
Allowed substitution hint:   B(x)

Proof of Theorem rdgon
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5103 . . . . 5 (z = x → (rec(𝐹, A)‘z) = (rec(𝐹, A)‘x))
21eleq1d 2088 . . . 4 (z = x → ((rec(𝐹, A)‘z) On ↔ (rec(𝐹, A)‘x) On))
32imbi2d 219 . . 3 (z = x → ((φ → (rec(𝐹, A)‘z) On) ↔ (φ → (rec(𝐹, A)‘x) On)))
4 fveq2 5103 . . . . 5 (z = B → (rec(𝐹, A)‘z) = (rec(𝐹, A)‘B))
54eleq1d 2088 . . . 4 (z = B → ((rec(𝐹, A)‘z) On ↔ (rec(𝐹, A)‘B) On))
65imbi2d 219 . . 3 (z = B → ((φ → (rec(𝐹, A)‘z) On) ↔ (φ → (rec(𝐹, A)‘B) On)))
7 r19.21v 2374 . . . 4 (x z (φ → (rec(𝐹, A)‘x) On) ↔ (φx z (rec(𝐹, A)‘x) On))
8 rdgon.2 . . . . . . . . 9 (φA On)
9 fvres 5123 . . . . . . . . . . . . . 14 (x z → ((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) = (rec(𝐹, A)‘x))
109eleq1d 2088 . . . . . . . . . . . . 13 (x z → (((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) On ↔ (rec(𝐹, A)‘x) On))
1110adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((φ x z) → (((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) On ↔ (rec(𝐹, A)‘x) On))
12 rdgon.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (φx On (𝐹x) On)
13 fveq2 5103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (x = w → (𝐹x) = (𝐹w))
1413eleq1d 2088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (x = w → ((𝐹x) On ↔ (𝐹w) On))
1514cbvralv 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x On (𝐹x) On ↔ w On (𝐹w) On)
1612, 15sylib 127 . . . . . . . . . . . . . 14 (φw On (𝐹w) On)
17 fveq2 5103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w = ((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) → (𝐹w) = (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)))
1817eleq1d 2088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w = ((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) → ((𝐹w) On ↔ (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On))
1918rspcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14 (((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) On → (w On (𝐹w) On → (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On))
2016, 19syl5com 26 . . . . . . . . . . . . 13 (φ → (((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) On → (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On))
2120adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((φ x z) → (((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x) On → (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On))
2211, 21sylbird 159 . . . . . . . . . . 11 ((φ x z) → ((rec(𝐹, A)‘x) On → (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On))
2322ralimdva 2365 . . . . . . . . . 10 (φ → (x z (rec(𝐹, A)‘x) On → x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On))
24 vex 2538 . . . . . . . . . . 11 z V
25 iunon 5821 . . . . . . . . . . 11 ((z V x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On) → x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On)
2624, 25mpan 402 . . . . . . . . . 10 (x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On → x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On)
2723, 26syl6 29 . . . . . . . . 9 (φ → (x z (rec(𝐹, A)‘x) On → x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On))
28 onun2 4166 . . . . . . . . 9 ((A On x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x)) On) → (A x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x))) On)
298, 27, 28ee12an 1302 . . . . . . . 8 (φ → (x z (rec(𝐹, A)‘x) On → (A x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x))) On))
3029adantr 261 . . . . . . 7 ((φ z On) → (x z (rec(𝐹, A)‘x) On → (A x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x))) On))
31 rdgon.1 . . . . . . . . . 10 (φ𝐹 Fn V)
3231, 8jca 290 . . . . . . . . 9 (φ → (𝐹 Fn V A On))
33 rdgivallem 5888 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn V A On z On) → (rec(𝐹, A)‘z) = (A x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x))))
34333expa 1090 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn V A On) z On) → (rec(𝐹, A)‘z) = (A x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x))))
3532, 34sylan 267 . . . . . . . 8 ((φ z On) → (rec(𝐹, A)‘z) = (A x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x))))
3635eleq1d 2088 . . . . . . 7 ((φ z On) → ((rec(𝐹, A)‘z) On ↔ (A x z (𝐹‘((rec(𝐹, A) ↾ z)‘x))) On))
3730, 36sylibrd 158 . . . . . 6 ((φ z On) → (x z (rec(𝐹, A)‘x) On → (rec(𝐹, A)‘z) On))
3837expcom 109 . . . . 5 (z On → (φ → (x z (rec(𝐹, A)‘x) On → (rec(𝐹, A)‘z) On)))
3938a2d 23 . . . 4 (z On → ((φx z (rec(𝐹, A)‘x) On) → (φ → (rec(𝐹, A)‘z) On)))
407, 39syl5bi 141 . . 3 (z On → (x z (φ → (rec(𝐹, A)‘x) On) → (φ → (rec(𝐹, A)‘z) On)))
413, 6, 40tfis3 4236 . 2 (B On → (φ → (rec(𝐹, A)‘B) On))
4241impcom 116 1 ((φ B On) → (rec(𝐹, A)‘B) On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  Vcvv 2535  cun 2892   ciun 3631  Oncon0 4049  cres 4274   Fn wfn 4824  cfv 4829  reccrdg 5877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-recs 5842  df-irdg 5878
This theorem is referenced by:  oacl  5955  omcl  5956  oeicl  5957
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