Theorem rdgon 5973

Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgon.1	|- ( ph -> F Fn _V )
rdgon.2	|- ( ph -> A e. On )
rdgon.3	|- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )

Assertion

Ref	Expression
rdgon	|- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem rdgon

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( z = x -> ( rec ( F , A ) ` z ) = ( rec ( F , A ) ` x ) )
2	1	eleq1d 2106	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( rec ( F , A ) ` z ) e. On <-> ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) )
3	2	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = x -> ( ( ph -> ( rec ( F , A ) ` z ) e. On ) <-> ( ph -> ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) ) )
4		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( z = B -> ( rec ( F , A ) ` z ) = ( rec ( F , A ) ` B ) )
5	4	eleq1d 2106	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( rec ( F , A ) ` z ) e. On <-> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On ) )
6	5	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = B -> ( ( ph -> ( rec ( F , A ) ` z ) e. On ) <-> ( ph -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On ) ) )
7		r19.21v 2396	. . . 4 |- ( A. x e. z ( ph -> ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) <-> ( ph -> A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) )
8		rdgon.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. On )
9		fvres 5198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. z -> ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) = ( rec ( F , A ) ` x ) )
10	9	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. z -> ( ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) e. On <-> ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) )
11	10	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. z ) -> ( ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) e. On <-> ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) )
12		rdgon.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
13		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
14	13	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) e. On <-> ( F ` w ) e. On ) )
15	14	cbvralv 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. On ( F ` x ) e. On <-> A. w e. On ( F ` w ) e. On )
16	12, 15	sylib 127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. w e. On ( F ` w ) e. On )
17		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) )
18	17	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) -> ( ( F ` w ) e. On <-> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) )
19	18	rspcv 2652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) e. On -> ( A. w e. On ( F ` w ) e. On -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) )
20	16, 19	syl5com 26	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) e. On -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) )
21	20	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. z ) -> ( ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) e. On -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) )
22	11, 21	sylbird 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. z ) -> ( ( rec ( F , A ) ` x ) e. On -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) )
23	22	ralimdva 2387	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On -> A. x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) )
24		vex 2560	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
25		iunon 5899	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ A. x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) -> U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On )
26	24, 25	mpan 400	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On -> U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On )
27	23, 26	syl6 29	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On -> U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) )
28		onun2 4216	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) e. On ) -> ( A u. U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) ) e. On )
29	8, 27, 28	syl6an 1323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On -> ( A u. U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) ) e. On ) )
30	29	adantr 261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. On ) -> ( A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On -> ( A u. U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) ) e. On ) )
31		rdgon.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F Fn _V )
32	31, 8	jca 290	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F Fn _V /\ A e. On ) )
33		rdgivallem 5968	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ A e. On /\ z e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` z ) = ( A u. U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) ) )
34	33	3expa 1104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. On ) /\ z e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` z ) = ( A u. U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) ) )
35	32, 34	sylan 267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` z ) = ( A u. U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) ) )
36	35	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. On ) -> ( ( rec ( F , A ) ` z ) e. On <-> ( A u. U_ x e. z ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` z ) ` x ) ) ) e. On ) )
37	30, 36	sylibrd 158	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. On ) -> ( A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On -> ( rec ( F , A ) ` z ) e. On ) )
38	37	expcom 109	. . . . 5 |- ( z e. On -> ( ph -> ( A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On -> ( rec ( F , A ) ` z ) e. On ) ) )
39	38	a2d 23	. . . 4 |- ( z e. On -> ( ( ph -> A. x e. z ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) -> ( ph -> ( rec ( F , A ) ` z ) e. On ) ) )
40	7, 39	syl5bi 141	. . 3 |- ( z e. On -> ( A. x e. z ( ph -> ( rec ( F , A ) ` x ) e. On ) -> ( ph -> ( rec ( F , A ) ` z ) e. On ) ) )
41	3, 6, 40	tfis3 4309	. 2 |- ( B e. On -> ( ph -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On ) )
42	41	impcom 116	1 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557   u. cun 2915   U_ciun 3657   Oncon0 4100   |` cres 4347   Fn wfn 4897   ` cfv 4902   reccrdg 5956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-recs 5920  df-irdg 5957

This theorem is referenced by:  oacl  6040  omcl  6041  oeicl  6042