Theorem oacl 5979

Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oacl	⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (A +𝑜 B) ∈ On)

Proof of Theorem oacl

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oav 5973	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (A +𝑜 B) = (rec((z ∈ V ↦ suc z), A)‘B))
2		oafnex 5963	. . . 4 ⊢ (z ∈ V ↦ suc z) Fn V
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (A ∈ On → (z ∈ V ↦ suc z) Fn V)
4		id 19	. . 3 ⊢ (A ∈ On → A ∈ On)
5		vex 2554	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
6		suceq 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = w → suc z = suc w)
7		eqid 2037	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ V ↦ suc z) = (z ∈ V ↦ suc z)
8	5	sucex 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ suc w ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ V → ((z ∈ V ↦ suc z)‘w) = suc w)
10	5, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ V ↦ suc z)‘w) = suc w
11	10	eleq1i 2100	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ V ↦ suc z)‘w) ∈ On ↔ suc w ∈ On)
12	11	ralbii 2324	. . . . 5 ⊢ (∀w ∈ On ((z ∈ V ↦ suc z)‘w) ∈ On ↔ ∀w ∈ On suc w ∈ On)
13		suceloni 4193	. . . . 5 ⊢ (w ∈ On → suc w ∈ On)
14	12, 13	mprgbir 2373	. . . 4 ⊢ ∀w ∈ On ((z ∈ V ↦ suc z)‘w) ∈ On
15	14	a1i 9	. . 3 ⊢ (A ∈ On → ∀w ∈ On ((z ∈ V ↦ suc z)‘w) ∈ On)
16	3, 4, 15	rdgon 5913	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (rec((z ∈ V ↦ suc z), A)‘B) ∈ On)
17	1, 16	eqeltrd 2111	1 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (A +𝑜 B) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  Vcvv 2551   ↦ cmpt 3809  Oncon0 4066  suc csuc 4068   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  reccrdg 5896   +_𝑜 coa 5937

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944

This theorem is referenced by:  omcl  5980  omv2  5984