ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oacl Structured version   GIF version

Theorem oacl 5972
Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oacl ((A On B On) → (A +𝑜 B) On)

Proof of Theorem oacl
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oav 5966 . 2 ((A On B On) → (A +𝑜 B) = (rec((z V ↦ suc z), A)‘B))
2 oafnex 5956 . . . 4 (z V ↦ suc z) Fn V
32a1i 9 . . 3 (A On → (z V ↦ suc z) Fn V)
4 id 19 . . 3 (A On → A On)
5 vex 2554 . . . . . . . 8 w V
6 suceq 4104 . . . . . . . . 9 (z = w → suc z = suc w)
7 eqid 2037 . . . . . . . . 9 (z V ↦ suc z) = (z V ↦ suc z)
85sucex 4190 . . . . . . . . 9 suc w V
96, 7, 8fvmpt 5190 . . . . . . . 8 (w V → ((z V ↦ suc z)‘w) = suc w)
105, 9ax-mp 7 . . . . . . 7 ((z V ↦ suc z)‘w) = suc w
1110eleq1i 2100 . . . . . 6 (((z V ↦ suc z)‘w) On ↔ suc w On)
1211ralbii 2324 . . . . 5 (w On ((z V ↦ suc z)‘w) On ↔ w On suc w On)
13 suceloni 4192 . . . . 5 (w On → suc w On)
1412, 13mprgbir 2373 . . . 4 w On ((z V ↦ suc z)‘w) On
1514a1i 9 . . 3 (A On → w On ((z V ↦ suc z)‘w) On)
163, 4, 15rdgon 5910 . 2 ((A On B On) → (rec((z V ↦ suc z), A)‘B) On)
171, 16eqeltrd 2111 1 ((A On B On) → (A +𝑜 B) On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  Vcvv 2551  cmpt 3808  Oncon0 4065  suc csuc 4067   Fn wfn 4839  cfv 4844  (class class class)co 5452  reccrdg 5893   +𝑜 coa 5930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-oadd 5937
This theorem is referenced by:  omcl  5973  omv2  5977
  Copyright terms: Public domain W3C validator