Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oacl GIF version

Theorem oacl 6040
 Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oacl ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem oacl
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oav 6034 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 𝐵) = (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵))
2 oafnex 6024 . . . 4 (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) Fn V
32a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) Fn V)
4 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
5 vex 2560 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
6 suceq 4139 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
7 eqid 2040 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
85sucex 4225 . . . . . . . . 9 suc 𝑤 ∈ V
96, 7, 8fvmpt 5249 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤)
105, 9ax-mp 7 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) = suc 𝑤
1110eleq1i 2103 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ suc 𝑤 ∈ On)
1211ralbii 2330 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On ↔ ∀𝑤 ∈ On suc 𝑤 ∈ On)
13 suceloni 4227 . . . . 5 (𝑤 ∈ On → suc 𝑤 ∈ On)
1412, 13mprgbir 2379 . . . 4 𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On
1514a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ On → ∀𝑤 ∈ On ((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)‘𝑤) ∈ On)
163, 4, 15rdgon 5973 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝐴)‘𝐵) ∈ On)
171, 16eqeltrd 2114 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ On)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  Vcvv 2557   ↦ cmpt 3818  Oncon0 4100  suc csuc 4102   Fn wfn 4897  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  reccrdg 5956   +𝑜 coa 5998 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005 This theorem is referenced by:  omcl  6041  omv2  6045
 Copyright terms: Public domain W3C validator