ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oacl Structured version   Unicode version

Theorem oacl 5979
Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oacl  On  On  +o  On

Proof of Theorem oacl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oav 5973 . 2  On  On  +o  rec  _V  |->  suc  ,  `
2 oafnex 5963 . . . 4  _V  |->  suc  Fn  _V
32a1i 9 . . 3  On  _V  |->  suc  Fn  _V
4 id 19 . . 3  On  On
5 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
6 suceq 4105 . . . . . . . . 9  suc  suc
7 eqid 2037 . . . . . . . . 9  _V  |->  suc  _V  |->  suc
85sucex 4191 . . . . . . . . 9  suc  _V
96, 7, 8fvmpt 5192 . . . . . . . 8  _V  _V  |->  suc  `  suc
105, 9ax-mp 7 . . . . . . 7  _V  |->  suc  `  suc
1110eleq1i 2100 . . . . . 6  _V  |->  suc  `  On  suc  On
1211ralbii 2324 . . . . 5  On  _V  |->  suc  `  On  On  suc  On
13 suceloni 4193 . . . . 5  On  suc  On
1412, 13mprgbir 2373 . . . 4  On  _V  |->  suc  `  On
1514a1i 9 . . 3  On  On  _V  |->  suc  `  On
163, 4, 15rdgon 5913 . 2  On  On  rec  _V  |->  suc  ,  `  On
171, 16eqeltrd 2111 1  On  On  +o  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   _Vcvv 2551    |-> cmpt 3809   Oncon0 4066   suc csuc 4068    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   reccrdg 5896    +o coa 5937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944
This theorem is referenced by:  omcl  5980  omv2  5984
  Copyright terms: Public domain W3C validator