ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  onsucelsucexmid Structured version   GIF version

Theorem onsucelsucexmid 4215
Description: The converse of onsucelsucr 4199 implies excluded middle. On the other hand, if y is constrained to be a natural number, instead of an arbitrary ordinal, then the converse of onsucelsucr 4199 does hold, as seen at nnsucelsuc 6009. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucelsucexmid.1 x On y On (x y → suc x suc y)
Assertion
Ref Expression
onsucelsucexmid (φ ¬ φ)
Distinct variable group:   φ,x,y

Proof of Theorem onsucelsucexmid
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem1 4213 . . . 4 {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}
2 0elon 4095 . . . . . 6 On
3 onsucelsucexmidlem 4214 . . . . . 6 {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} On
42, 3pm3.2i 257 . . . . 5 (∅ On {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} On)
5 onsucelsucexmid.1 . . . . 5 x On y On (x y → suc x suc y)
6 eleq1 2097 . . . . . . 7 (x = ∅ → (x y ↔ ∅ y))
7 suceq 4105 . . . . . . . 8 (x = ∅ → suc x = suc ∅)
87eleq1d 2103 . . . . . . 7 (x = ∅ → (suc x suc y ↔ suc ∅ suc y))
96, 8imbi12d 223 . . . . . 6 (x = ∅ → ((x y → suc x suc y) ↔ (∅ y → suc ∅ suc y)))
10 eleq2 2098 . . . . . . 7 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → (∅ y ↔ ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
11 suceq 4105 . . . . . . . 8 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc y = suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
1211eleq2d 2104 . . . . . . 7 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → (suc ∅ suc y ↔ suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
1310, 12imbi12d 223 . . . . . 6 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ((∅ y → suc ∅ suc y) ↔ (∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})))
149, 13rspc2va 2657 . . . . 5 (((∅ On {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} On) x On y On (x y → suc x suc y)) → (∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
154, 5, 14mp2an 402 . . . 4 (∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
161, 15ax-mp 7 . . 3 suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}
17 elsuci 4106 . . 3 (suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
1816, 17ax-mp 7 . 2 (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
19 suc0 4114 . . . . . 6 suc ∅ = {∅}
20 p0ex 3930 . . . . . . 7 {∅} V
2120prid2 3468 . . . . . 6 {∅} {∅, {∅}}
2219, 21eqeltri 2107 . . . . 5 suc ∅ {∅, {∅}}
23 eqeq1 2043 . . . . . . 7 (z = suc ∅ → (z = ∅ ↔ suc ∅ = ∅))
2423orbi1d 704 . . . . . 6 (z = suc ∅ → ((z = ∅ φ) ↔ (suc ∅ = ∅ φ)))
2524elrab3 2693 . . . . 5 (suc ∅ {∅, {∅}} → (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ (suc ∅ = ∅ φ)))
2622, 25ax-mp 7 . . . 4 (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ (suc ∅ = ∅ φ))
27 0ex 3875 . . . . . . 7 V
28 nsuceq0g 4121 . . . . . . 7 (∅ V → suc ∅ ≠ ∅)
2927, 28ax-mp 7 . . . . . 6 suc ∅ ≠ ∅
30 df-ne 2203 . . . . . 6 (suc ∅ ≠ ∅ ↔ ¬ suc ∅ = ∅)
3129, 30mpbi 133 . . . . 5 ¬ suc ∅ = ∅
32 pm2.53 640 . . . . 5 ((suc ∅ = ∅ φ) → (¬ suc ∅ = ∅ → φ))
3331, 32mpi 15 . . . 4 ((suc ∅ = ∅ φ) → φ)
3426, 33sylbi 114 . . 3 (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → φ)
3519eqeq1i 2044 . . . . 5 (suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ {∅} = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
3619eqeq1i 2044 . . . . . . . 8 (suc ∅ = ∅ ↔ {∅} = ∅)
3731, 36mtbi 594 . . . . . . 7 ¬ {∅} = ∅
3820elsnc 3390 . . . . . . 7 ({∅} {∅} ↔ {∅} = ∅)
3937, 38mtbir 595 . . . . . 6 ¬ {∅} {∅}
40 eleq2 2098 . . . . . 6 ({∅} = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ({∅} {∅} ↔ {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
4139, 40mtbii 598 . . . . 5 ({∅} = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ¬ {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
4235, 41sylbi 114 . . . 4 (suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ¬ {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
43 olc 631 . . . . 5 (φ → ({∅} = ∅ φ))
44 eqeq1 2043 . . . . . . . 8 (z = {∅} → (z = ∅ ↔ {∅} = ∅))
4544orbi1d 704 . . . . . . 7 (z = {∅} → ((z = ∅ φ) ↔ ({∅} = ∅ φ)))
4645elrab3 2693 . . . . . 6 ({∅} {∅, {∅}} → ({∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ ({∅} = ∅ φ)))
4721, 46ax-mp 7 . . . . 5 ({∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ ({∅} = ∅ φ))
4843, 47sylibr 137 . . . 4 (φ → {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
4942, 48nsyl 558 . . 3 (suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ¬ φ)
5034, 49orim12i 675 . 2 ((suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}) → (φ ¬ φ))
5118, 50ax-mp 7 1 (φ ¬ φ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  wral 2300  {crab 2304  Vcvv 2551  c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368  Oncon0 4066  suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074
This theorem is referenced by:  ordsucunielexmid  4216
  Copyright terms: Public domain W3C validator