ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  onsucelsucexmid Structured version   GIF version

Theorem onsucelsucexmid 4197
Description: The converse of onsucelsucr 4181 implies excluded middle. On the other hand, if y is constrained to be a natural number, instead of an arbitrary ordinal, then the converse of onsucelsucr 4181 does hold, as seen at nnsucelsuc 5980. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucelsucexmid.1 x On y On (x y → suc x suc y)
Assertion
Ref Expression
onsucelsucexmid (φ ¬ φ)
Distinct variable group:   φ,x,y

Proof of Theorem onsucelsucexmid
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem1 4195 . . . 4 {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}
2 0elon 4076 . . . . . 6 On
3 onsucelsucexmidlem 4196 . . . . . 6 {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} On
42, 3pm3.2i 257 . . . . 5 (∅ On {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} On)
5 onsucelsucexmid.1 . . . . 5 x On y On (x y → suc x suc y)
6 eleq1 2083 . . . . . . 7 (x = ∅ → (x y ↔ ∅ y))
7 suceq 4086 . . . . . . . 8 (x = ∅ → suc x = suc ∅)
87eleq1d 2089 . . . . . . 7 (x = ∅ → (suc x suc y ↔ suc ∅ suc y))
96, 8imbi12d 223 . . . . . 6 (x = ∅ → ((x y → suc x suc y) ↔ (∅ y → suc ∅ suc y)))
10 eleq2 2084 . . . . . . 7 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → (∅ y ↔ ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
11 suceq 4086 . . . . . . . 8 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc y = suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
1211eleq2d 2090 . . . . . . 7 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → (suc ∅ suc y ↔ suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
1310, 12imbi12d 223 . . . . . 6 (y = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ((∅ y → suc ∅ suc y) ↔ (∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})))
149, 13rspc2va 2639 . . . . 5 (((∅ On {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} On) x On y On (x y → suc x suc y)) → (∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
154, 5, 14mp2an 404 . . . 4 (∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
161, 15ax-mp 7 . . 3 suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}
17 elsuci 4087 . . 3 (suc ∅ suc {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
1816, 17ax-mp 7 . 2 (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
19 suc0 4095 . . . . . 6 suc ∅ = {∅}
20 p0ex 3912 . . . . . . 7 {∅} V
2120prid2 3450 . . . . . 6 {∅} {∅, {∅}}
2219, 21eqeltri 2093 . . . . 5 suc ∅ {∅, {∅}}
23 eqeq1 2029 . . . . . . 7 (z = suc ∅ → (z = ∅ ↔ suc ∅ = ∅))
2423orbi1d 692 . . . . . 6 (z = suc ∅ → ((z = ∅ φ) ↔ (suc ∅ = ∅ φ)))
2524elrab3 2675 . . . . 5 (suc ∅ {∅, {∅}} → (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ (suc ∅ = ∅ φ)))
2622, 25ax-mp 7 . . . 4 (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ (suc ∅ = ∅ φ))
27 0ex 3857 . . . . . . 7 V
28 nsuceq0g 4102 . . . . . . 7 (∅ V → suc ∅ ≠ ∅)
2927, 28ax-mp 7 . . . . . 6 suc ∅ ≠ ∅
30 df-ne 2189 . . . . . 6 (suc ∅ ≠ ∅ ↔ ¬ suc ∅ = ∅)
3129, 30mpbi 133 . . . . 5 ¬ suc ∅ = ∅
32 pm2.53 628 . . . . 5 ((suc ∅ = ∅ φ) → (¬ suc ∅ = ∅ → φ))
3331, 32mpi 15 . . . 4 ((suc ∅ = ∅ φ) → φ)
3426, 33sylbi 114 . . 3 (suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → φ)
3519eqeq1i 2030 . . . . 5 (suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ {∅} = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
3619eqeq1i 2030 . . . . . . . 8 (suc ∅ = ∅ ↔ {∅} = ∅)
3731, 36mtbi 582 . . . . . . 7 ¬ {∅} = ∅
3820elsnc 3372 . . . . . . 7 ({∅} {∅} ↔ {∅} = ∅)
3937, 38mtbir 583 . . . . . 6 ¬ {∅} {∅}
40 eleq2 2084 . . . . . 6 ({∅} = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ({∅} {∅} ↔ {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}))
4139, 40mtbii 586 . . . . 5 ({∅} = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ¬ {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
4235, 41sylbi 114 . . . 4 (suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ¬ {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
43 olc 619 . . . . 5 (φ → ({∅} = ∅ φ))
44 eqeq1 2029 . . . . . . . 8 (z = {∅} → (z = ∅ ↔ {∅} = ∅))
4544orbi1d 692 . . . . . . 7 (z = {∅} → ((z = ∅ φ) ↔ ({∅} = ∅ φ)))
4645elrab3 2675 . . . . . 6 ({∅} {∅, {∅}} → ({∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ ({∅} = ∅ φ)))
4721, 46ax-mp 7 . . . . 5 ({∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} ↔ ({∅} = ∅ φ))
4843, 47sylibr 137 . . . 4 (φ → {∅} {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)})
4942, 48nsyl 546 . . 3 (suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} → ¬ φ)
5034, 49orim12i 663 . 2 ((suc ∅ {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)} suc ∅ = {z {∅, {∅}} ∣ (z = ∅ φ)}) → (φ ¬ φ))
5118, 50ax-mp 7 1 (φ ¬ φ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   = wceq 1228   wcel 1375  wne 2187  wral 2283  {crab 2287  Vcvv 2534  c0 3200  {csn 3349  {cpr 3350  Oncon0 4047  suc csuc 4049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1364  ax-ie2 1365  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2005  ax-sep 3848  ax-nul 3856  ax-pow 3900
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1629  df-clab 2010  df-cleq 2016  df-clel 2019  df-nfc 2150  df-ne 2189  df-ral 2288  df-rex 2289  df-rab 2292  df-v 2536  df-dif 2896  df-un 2898  df-in 2900  df-ss 2907  df-nul 3201  df-pw 3335  df-sn 3355  df-pr 3356  df-uni 3554  df-tr 3828  df-iord 4050  df-on 4052  df-suc 4055
This theorem is referenced by:  ordsucunielexmid  4198
  Copyright terms: Public domain W3C validator