Theorem acexmidlema 5446

Description: Lemma for acexmid 5454. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	⊢ A = {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)}
acexmidlem.b	⊢ B = {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = {∅} ∨ φ)}
acexmidlem.c	⊢ 𝐶 = {A, B}

Assertion

Ref	Expression
acexmidlema	⊢ ({∅} ∈ A → φ)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐶   φ,x

Proof of Theorem acexmidlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acexmidlem.a	. . . 4 ⊢ A = {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)}
2	1	eleq2i 2101	. . 3 ⊢ ({∅} ∈ A ↔ {∅} ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)})
3		p0ex 3930	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4	3	prid2 3468	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ {∅, {∅}}
5		eqeq1 2043	. . . . . 6 ⊢ (x = {∅} → (x = ∅ ↔ {∅} = ∅))
6	5	orbi1d 704	. . . . 5 ⊢ (x = {∅} → ((x = ∅ ∨ φ) ↔ ({∅} = ∅ ∨ φ)))
7	6	elrab3 2693	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ {∅, {∅}} → ({∅} ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)} ↔ ({∅} = ∅ ∨ φ)))
8	4, 7	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ({∅} ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)} ↔ ({∅} = ∅ ∨ φ))
9	2, 8	bitri 173	. 2 ⊢ ({∅} ∈ A ↔ ({∅} = ∅ ∨ φ))
10		noel 3222	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
11		0ex 3875	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	snid 3394	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
13		eleq2 2098	. . . . 5 ⊢ ({∅} = ∅ → (∅ ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ ∅))
14	12, 13	mpbii 136	. . . 4 ⊢ ({∅} = ∅ → ∅ ∈ ∅)
15	10, 14	mto 587	. . 3 ⊢ ¬ {∅} = ∅
16		orel1 643	. . 3 ⊢ (¬ {∅} = ∅ → (({∅} = ∅ ∨ φ) → φ))
17	15, 16	ax-mp 7	. 2 ⊢ (({∅} = ∅ ∨ φ) → φ)
18	9, 17	sylbi 114	1 ⊢ ({∅} ∈ A → φ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {crab 2304  ∅c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374

This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5451