Theorem onsucelsucexmidlem1 4197

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4199. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	⊢ ∅ ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)}

Distinct variable group:   φ,x

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3858	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 3450	. 2 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
3		eqid 2022	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
4	3	orci 637	. 2 ⊢ (∅ = ∅ ∨ φ)
5		eqeq1 2028	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → (x = ∅ ↔ ∅ = ∅))
6	5	orbi1d 692	. . 3 ⊢ (x = ∅ → ((x = ∅ ∨ φ) ↔ (∅ = ∅ ∨ φ)))
7	6	elrab 2675	. 2 ⊢ (∅ ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)} ↔ (∅ ∈ {∅, {∅}} ∧ (∅ = ∅ ∨ φ)))
8	2, 4, 7	mpbir2an 837	1 ⊢ ∅ ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)}

Syntax hints:   ∨ wo 616   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  {crab 2288  ∅c0 3201  {csn 3350  {cpr 3351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-nul 3857

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-rab 2293  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-nul 3202  df-sn 3356  df-pr 3357

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4198  onsucelsucexmid  4199  acexmidlem2  5433