Theorem onsucelsucexmidlem1 4213

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4215. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	⊢ ∅ ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)}

Distinct variable group:   φ,x

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3875	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 3467	. 2 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
3		eqid 2037	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
4	3	orci 649	. 2 ⊢ (∅ = ∅ ∨ φ)
5		eqeq1 2043	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → (x = ∅ ↔ ∅ = ∅))
6	5	orbi1d 704	. . 3 ⊢ (x = ∅ → ((x = ∅ ∨ φ) ↔ (∅ = ∅ ∨ φ)))
7	6	elrab 2692	. 2 ⊢ (∅ ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)} ↔ (∅ ∈ {∅, {∅}} ∧ (∅ = ∅ ∨ φ)))
8	2, 4, 7	mpbir2an 848	1 ⊢ ∅ ∈ {x ∈ {∅, {∅}} ∣ (x = ∅ ∨ φ)}

Syntax hints:   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {crab 2304  ∅c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4214  onsucelsucexmid  4215  acexmidlem2  5452