Theorem onsucelsucexmidlem1 4253

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4255. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	⊢ ∅ ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)}

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3884	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 3476	. 2 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
3		eqid 2040	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
4	3	orci 650	. 2 ⊢ (∅ = ∅ ∨ 𝜑)
5		eqeq1 2046	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 = ∅ ↔ ∅ = ∅))
6	5	orbi1d 705	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝜑) ↔ (∅ = ∅ ∨ 𝜑)))
7	6	elrab 2698	. 2 ⊢ (∅ ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)} ↔ (∅ ∈ {∅, {∅}} ∧ (∅ = ∅ ∨ 𝜑)))
8	2, 4, 7	mpbir2an 849	1 ⊢ ∅ ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)}

Syntax hints:   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {crab 2310  ∅c0 3224  {csn 3375  {cpr 3376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4254  onsucelsucexmid  4255  acexmidlem2  5509