ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eq0 GIF version

Theorem eq0 3239
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 nfcv 2178 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2178 . . 3 𝑥
31, 2cleqf 2201 . 2 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
4 noel 3228 . . . 4 ¬ 𝑥 ∈ ∅
54nbn 615 . . 3 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
65albii 1359 . 2 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
73, 6bitr4i 176 1 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 98  wal 1241   = wceq 1243  wcel 1393  c0 3224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-nul 3225
This theorem is referenced by:  0el  3241  rabeq0  3247  abeq0  3248  ssdif0im  3286  inssdif0im  3291  ralf0  3324  snprc  3435  uni0b  3605  0ex  3884  dm0  4549  reldm0  4553  dmsn0  4788  dmsn0el  4790  fzo0  9024  fzouzdisj  9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator