ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eq0 Structured version   GIF version

Theorem eq0 3216
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0 (A = ∅ ↔ x ¬ x A)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 nfcv 2160 . . 3 xA
2 nfcv 2160 . . 3 x
31, 2cleqf 2183 . 2 (A = ∅ ↔ x(x Ax ∅))
4 noel 3205 . . . 4 ¬ x
54nbn 602 . . 3 x A ↔ (x Ax ∅))
65albii 1339 . 2 (x ¬ x Ax(x Ax ∅))
73, 6bitr4i 176 1 (A = ∅ ↔ x ¬ x A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 98  wal 1226   = wceq 1228   wcel 1374  c0 3201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-dif 2897  df-nul 3202
This theorem is referenced by:  0el  3218  rabeq0  3224  abeq0  3225  ssdif0im  3263  inssdif0im  3268  ralf0  3303  snprc  3409  uni0b  3579  0ex  3858  dm0  4476  reldm0  4480  dmsn0  4715  dmsn0el  4717
  Copyright terms: Public domain W3C validator