Theorem eq0 3233

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	⊢ (A = ∅ ↔ ∀x ¬ x ∈ A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2175	. . 3 ⊢ ℲxA
2		nfcv 2175	. . 3 ⊢ Ⅎx∅
3	1, 2	cleqf 2198	. 2 ⊢ (A = ∅ ↔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ ∅))
4		noel 3222	. . . 4 ⊢ ¬ x ∈ ∅
5	4	nbn 614	. . 3 ⊢ (¬ x ∈ A ↔ (x ∈ A ↔ x ∈ ∅))
6	5	albii 1356	. 2 ⊢ (∀x ¬ x ∈ A ↔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ ∅))
7	3, 6	bitr4i 176	1 ⊢ (A = ∅ ↔ ∀x ¬ x ∈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-nul 3219

This theorem is referenced by:  0el  3235  rabeq0  3241  abeq0  3242  ssdif0im  3280  inssdif0im  3285  ralf0  3318  snprc  3426  uni0b  3596  0ex  3875  dm0  4492  reldm0  4496  dmsn0  4731  dmsn0el  4733  fzo0  8754  fzouzdisj  8766