Theorem eq0 3216

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	⊢ (A = ∅ ↔ ∀x ¬ x ∈ A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2160	. . 3 ⊢ ℲxA
2		nfcv 2160	. . 3 ⊢ Ⅎx∅
3	1, 2	cleqf 2183	. 2 ⊢ (A = ∅ ↔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ ∅))
4		noel 3205	. . . 4 ⊢ ¬ x ∈ ∅
5	4	nbn 602	. . 3 ⊢ (¬ x ∈ A ↔ (x ∈ A ↔ x ∈ ∅))
6	5	albii 1339	. 2 ⊢ (∀x ¬ x ∈ A ↔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ ∅))
7	3, 6	bitr4i 176	1 ⊢ (A = ∅ ↔ ∀x ¬ x ∈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 98  ∀wal 1226   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  ∅c0 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-dif 2897  df-nul 3202

This theorem is referenced by:  0el  3218  rabeq0  3224  abeq0  3225  ssdif0im  3263  inssdif0im  3268  ralf0  3303  snprc  3409  uni0b  3579  0ex  3858  dm0  4476  reldm0  4480  dmsn0  4715  dmsn0el  4717