Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-d0clsepcl Structured version   GIF version

Theorem bj-d0clsepcl 9384
Description: Δ0-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-d0clsepcl DECID φ

Proof of Theorem bj-d0clsepcl
Dummy variables x 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . . . 7 V
21bj-snex 9368 . . . . . 6 {∅} V
32zfauscl 3868 . . . . 5 𝑎x(x 𝑎 ↔ (x {∅} φ))
4 eleq1 2097 . . . . . . 7 (x = ∅ → (x 𝑎 ↔ ∅ 𝑎))
5 eleq1 2097 . . . . . . . 8 (x = ∅ → (x {∅} ↔ ∅ {∅}))
65anbi1d 438 . . . . . . 7 (x = ∅ → ((x {∅} φ) ↔ (∅ {∅} φ)))
74, 6bibi12d 224 . . . . . 6 (x = ∅ → ((x 𝑎 ↔ (x {∅} φ)) ↔ (∅ 𝑎 ↔ (∅ {∅} φ))))
81, 7spcv 2640 . . . . 5 (x(x 𝑎 ↔ (x {∅} φ)) → (∅ 𝑎 ↔ (∅ {∅} φ)))
93, 8eximii 1490 . . . 4 𝑎(∅ 𝑎 ↔ (∅ {∅} φ))
101snid 3394 . . . . . . . 8 {∅}
1110biantrur 287 . . . . . . 7 (φ ↔ (∅ {∅} φ))
1211bicomi 123 . . . . . 6 ((∅ {∅} φ) ↔ φ)
1312bibi2i 216 . . . . 5 ((∅ 𝑎 ↔ (∅ {∅} φ)) ↔ (∅ 𝑎φ))
1413exbii 1493 . . . 4 (𝑎(∅ 𝑎 ↔ (∅ {∅} φ)) ↔ 𝑎(∅ 𝑎φ))
159, 14mpbi 133 . . 3 𝑎(∅ 𝑎φ)
16 bj-bd0el 9323 . . . . 5 BOUNDED 𝑎
1716ax-bj-d0cl 9379 . . . 4 DECID 𝑎
18 bj-dcbi 9383 . . . 4 ((∅ 𝑎φ) → (DECID 𝑎DECID φ))
1917, 18mpbii 136 . . 3 ((∅ 𝑎φ) → DECID φ)
2015, 19eximii 1490 . 2 𝑎DECID φ
21 bj-ex 9237 . 2 (𝑎DECID φDECID φ)
2220, 21ax-mp 7 1 DECID φ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98  DECID wdc 741  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  c0 3218  {csn 3367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-bd0 9268  ax-bdim 9269  ax-bdor 9271  ax-bdn 9272  ax-bdal 9273  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdsep 9339  ax-bj-d0cl 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-bdc 9296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator