ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oaword1 GIF version

Theorem oaword1 6050
Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaword1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem oaword1
StepHypRef Expression
1 oa0 6037 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
21adantr 261 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
3 0ss 3255 . . 3 ∅ ⊆ 𝐵
4 0elon 4129 . . . 4 ∅ ∈ On
5 oawordi 6049 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
653com13 1109 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
74, 6mp3an3 1221 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
83, 7mpi 15 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
92, 8eqsstr3d 2980 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wss 2917  c0 3224  Oncon0 4100  (class class class)co 5512   +𝑜 coa 5998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005
This theorem is referenced by:  omsuc  6051  nnaword1  6086
  Copyright terms: Public domain W3C validator