Theorem oawordi 5959

Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oawordi	⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (A ⊆ B → (𝐶 +𝑜 A) ⊆ (𝐶 +𝑜 B)))

Proof of Theorem oawordi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 5934	. . . . 5 ⊢ (x ∈ V ↦ suc x) Fn V
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → (x ∈ V ↦ suc x) Fn V)
3		simpl3 897	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → 𝐶 ∈ On)
4		simpl1 895	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → A ∈ On)
5		simpl2 896	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → B ∈ On)
6		ax-ia2 100	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → A ⊆ B)
7	2, 3, 4, 5, 6	rdgss 5885	. . 3 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → (rec((x ∈ V ↦ suc x), 𝐶)‘A) ⊆ (rec((x ∈ V ↦ suc x), 𝐶)‘B))
8	3, 4	jca 290	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → (𝐶 ∈ On ∧ A ∈ On))
9		oav 5944	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ A ∈ On) → (𝐶 +𝑜 A) = (rec((x ∈ V ↦ suc x), 𝐶)‘A))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → (𝐶 +𝑜 A) = (rec((x ∈ V ↦ suc x), 𝐶)‘A))
11	3, 5	jca 290	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → (𝐶 ∈ On ∧ B ∈ On))
12		oav 5944	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ B ∈ On) → (𝐶 +𝑜 B) = (rec((x ∈ V ↦ suc x), 𝐶)‘B))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → (𝐶 +𝑜 B) = (rec((x ∈ V ↦ suc x), 𝐶)‘B))
14	7, 10, 13	3sstr4d 2964	. 2 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ A ⊆ B) → (𝐶 +𝑜 A) ⊆ (𝐶 +𝑜 B))
15	14	ex 108	1 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (A ⊆ B → (𝐶 +𝑜 A) ⊆ (𝐶 +𝑜 B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 873   = wceq 1228   ∈ wcel 1375  Vcvv 2534   ⊆ wss 2893   ↦ cmpt 3791  Oncon0 4047  suc csuc 4049   Fn wfn 4822  ‘cfv 4827  (class class class)co 5434  reccrdg 5872   +_𝑜 coa 5908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1364  ax-ie2 1365  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-13 1386  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2005  ax-coll 3845  ax-sep 3848  ax-pow 3900  ax-pr 3917  ax-un 4118  ax-setind 4202

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1629  df-eu 1886  df-mo 1887  df-clab 2010  df-cleq 2016  df-clel 2019  df-nfc 2150  df-ne 2189  df-ral 2288  df-rex 2289  df-reu 2290  df-rab 2292  df-v 2536  df-sbc 2741  df-csb 2829  df-dif 2896  df-un 2898  df-in 2900  df-ss 2907  df-nul 3201  df-pw 3335  df-sn 3355  df-pr 3356  df-op 3358  df-uni 3554  df-iun 3632  df-br 3738  df-opab 3792  df-mpt 3793  df-tr 3828  df-id 4003  df-iord 4050  df-on 4052  df-suc 4055  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-iota 4792  df-fun 4829  df-fn 4830  df-f 4831  df-f1 4832  df-fo 4833  df-f1o 4834  df-fv 4835  df-ov 5437  df-oprab 5438  df-mpt2 5439  df-recs 5837  df-irdg 5873  df-oadd 5915

This theorem is referenced by:  oaword1  5960