ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgss Structured version   GIF version

Theorem rdgss 5910
Description: Subset and recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgss.1 (φ𝐹 Fn V)
rdgss.2 (φ𝐼 𝑉)
rdgss.3 (φA On)
rdgss.4 (φB On)
rdgss.5 (φAB)
Assertion
Ref Expression
rdgss (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘B))

Proof of Theorem rdgss
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgss.5 . . . 4 (φAB)
2 ssel 2933 . . . . . 6 (AB → (x Ax B))
3 ssid 2958 . . . . . . 7 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))
4 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10 (y = x → (rec(𝐹, 𝐼)‘y) = (rec(𝐹, 𝐼)‘x))
54fveq2d 5125 . . . . . . . . 9 (y = x → (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)))
65sseq2d 2967 . . . . . . . 8 (y = x → ((𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) ↔ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
76rspcev 2650 . . . . . . 7 ((x B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) → y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
83, 7mpan2 401 . . . . . 6 (x By B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
92, 8syl6 29 . . . . 5 (AB → (x Ay B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
109ralrimiv 2385 . . . 4 (ABx A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
111, 10syl 14 . . 3 (φx A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
12 iunss2 3693 . . 3 (x A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) → x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
13 unss2 3108 . . 3 ( x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) → (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) ⊆ (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
1411, 12, 133syl 17 . 2 (φ → (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) ⊆ (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
15 rdgss.1 . . 3 (φ𝐹 Fn V)
16 rdgss.2 . . 3 (φ𝐼 𝑉)
17 rdgss.3 . . 3 (φA On)
18 rdgival 5909 . . 3 ((𝐹 Fn V 𝐼 𝑉 A On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) = (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1134 . 2 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) = (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
20 rdgss.4 . . 3 (φB On)
21 rdgival 5909 . . 3 ((𝐹 Fn V 𝐼 𝑉 B On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘B) = (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1134 . 2 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘B) = (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
2314, 19, 223sstr4d 2982 1 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  Vcvv 2551  cun 2909  wss 2911   ciun 3648  Oncon0 4066   Fn wfn 4840  cfv 4845  reccrdg 5896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-irdg 5897
This theorem is referenced by:  oawordi  5988
  Copyright terms: Public domain W3C validator