Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgss Structured version   GIF version

Theorem rdgss 5910
 Description: Subset and recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgss.1 (φ𝐹 Fn V)
rdgss.2 (φ𝐼 𝑉)
rdgss.3 (φA On)
rdgss.4 (φB On)
rdgss.5 (φAB)
Assertion
Ref Expression
rdgss (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘B))

Proof of Theorem rdgss
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgss.5 . . . 4 (φAB)
2 ssel 2933 . . . . . 6 (AB → (x Ax B))
3 ssid 2958 . . . . . . 7 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))
4 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10 (y = x → (rec(𝐹, 𝐼)‘y) = (rec(𝐹, 𝐼)‘x))
54fveq2d 5125 . . . . . . . . 9 (y = x → (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)))
65sseq2d 2967 . . . . . . . 8 (y = x → ((𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) ↔ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
76rspcev 2650 . . . . . . 7 ((x B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) → y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
83, 7mpan2 401 . . . . . 6 (x By B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
92, 8syl6 29 . . . . 5 (AB → (x Ay B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
109ralrimiv 2385 . . . 4 (ABx A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
111, 10syl 14 . . 3 (φx A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
12 iunss2 3693 . . 3 (x A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) → x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
13 unss2 3108 . . 3 ( x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) → (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) ⊆ (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
1411, 12, 133syl 17 . 2 (φ → (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) ⊆ (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
15 rdgss.1 . . 3 (φ𝐹 Fn V)
16 rdgss.2 . . 3 (φ𝐼 𝑉)
17 rdgss.3 . . 3 (φA On)
18 rdgival 5909 . . 3 ((𝐹 Fn V 𝐼 𝑉 A On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) = (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1134 . 2 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) = (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
20 rdgss.4 . . 3 (φB On)
21 rdgival 5909 . . 3 ((𝐹 Fn V 𝐼 𝑉 B On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘B) = (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1134 . 2 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘B) = (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
2314, 19, 223sstr4d 2982 1 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘B))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  Vcvv 2551   ∪ cun 2909   ⊆ wss 2911  ∪ ciun 3648  Oncon0 4066   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  reccrdg 5896 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-irdg 5897 This theorem is referenced by:  oawordi  5988
 Copyright terms: Public domain W3C validator