ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgss Structured version   GIF version

Theorem rdgss 5886
Description: Subset and recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgss.1 (φ𝐹 Fn V)
rdgss.2 (φ𝐼 𝑉)
rdgss.3 (φA On)
rdgss.4 (φB On)
rdgss.5 (φAB)
Assertion
Ref Expression
rdgss (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘B))

Proof of Theorem rdgss
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgss.5 . . . 4 (φAB)
2 ssel 2912 . . . . . 6 (AB → (x Ax B))
3 ssid 2937 . . . . . . 7 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))
4 fveq2 5099 . . . . . . . . . 10 (y = x → (rec(𝐹, 𝐼)‘y) = (rec(𝐹, 𝐼)‘x))
54fveq2d 5103 . . . . . . . . 9 (y = x → (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)))
65sseq2d 2946 . . . . . . . 8 (y = x → ((𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) ↔ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
76rspcev 2629 . . . . . . 7 ((x B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) → y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
83, 7mpan2 403 . . . . . 6 (x By B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
92, 8syl6 29 . . . . 5 (AB → (x Ay B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
109ralrimiv 2365 . . . 4 (ABx A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
111, 10syl 14 . . 3 (φx A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
12 iunss2 3672 . . 3 (x A y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) → x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)))
13 unss2 3087 . . 3 ( x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x)) ⊆ y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y)) → (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) ⊆ (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
1411, 12, 133syl 17 . 2 (φ → (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))) ⊆ (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
15 rdgss.1 . . 3 (φ𝐹 Fn V)
16 rdgss.2 . . 3 (φ𝐼 𝑉)
17 rdgss.3 . . 3 (φA On)
18 rdgival 5885 . . 3 ((𝐹 Fn V 𝐼 𝑉 A On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) = (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1119 . 2 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) = (𝐼 x A (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘x))))
20 rdgss.4 . . 3 (φB On)
21 rdgival 5885 . . 3 ((𝐹 Fn V 𝐼 𝑉 B On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘B) = (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1119 . 2 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘B) = (𝐼 y B (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘y))))
2314, 19, 223sstr4d 2961 1 (φ → (rec(𝐹, 𝐼)‘A) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  wrex 2281  Vcvv 2531  cun 2888  wss 2890   ciun 3627  Oncon0 4045   Fn wfn 4820  cfv 4825  reccrdg 5873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-recs 5838  df-irdg 5874
This theorem is referenced by:  oawordi  5960
  Copyright terms: Public domain W3C validator