ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oawordi Structured version   Unicode version

Theorem oawordi 5960
Description: Weak ordering property of ordinal addition. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oawordi  On  On  C  On  C_  C  +o  C_  C  +o

Proof of Theorem oawordi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oafnex 5935 . . . . 5  _V  |->  suc  Fn  _V
21a1i 9 . . . 4  On  On  C  On  C_  _V  |->  suc  Fn  _V
3 simpl3 895 . . . 4  On  On  C  On  C_  C  On
4 simpl1 893 . . . 4  On  On  C  On  C_  On
5 simpl2 894 . . . 4  On  On  C  On  C_  On
6 ax-ia2 100 . . . 4  On  On  C  On  C_  C_
72, 3, 4, 5, 6rdgss 5886 . . 3  On  On  C  On  C_  rec  _V  |->  suc  ,  C `
 C_  rec  _V  |->  suc  ,  C `
83, 4jca 290 . . . 4  On  On  C  On  C_  C  On  On
9 oav 5945 . . . 4  C  On  On  C  +o  rec  _V  |->  suc  ,  C `
108, 9syl 14 . . 3  On  On  C  On  C_  C  +o  rec  _V  |->  suc  ,  C `
113, 5jca 290 . . . 4  On  On  C  On  C_  C  On  On
12 oav 5945 . . . 4  C  On  On  C  +o  rec  _V  |->  suc  ,  C `
1311, 12syl 14 . . 3  On  On  C  On  C_  C  +o  rec  _V  |->  suc  ,  C `
147, 10, 133sstr4d 2961 . 2  On  On  C  On  C_  C  +o  C_  C  +o
1514ex 108 1  On  On  C  On  C_  C  +o  C_  C  +o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 871   wceq 1226   wcel 1370   _Vcvv 2531    C_ wss 2890    |-> cmpt 3788   Oncon0 4045   suc csuc 4047    Fn wfn 4820   ` cfv 4825  (class class class)co 5432   reccrdg 5873    +o coa 5909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916
This theorem is referenced by:  oaword1  5961
  Copyright terms: Public domain W3C validator