ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmword Structured version   GIF version

Theorem nnmword 6020
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmword (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (AB ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ⊆ (𝐶 ·𝑜 B)))

Proof of Theorem nnmword
StepHypRef Expression
1 iba 284 . . . 4 (∅ 𝐶 → (B A ↔ (B A 𝐶)))
2 nnmord 6019 . . . . 5 ((B 𝜔 A 𝜔 𝐶 𝜔) → ((B A 𝐶) ↔ (𝐶 ·𝑜 B) (𝐶 ·𝑜 A)))
323com12 1107 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((B A 𝐶) ↔ (𝐶 ·𝑜 B) (𝐶 ·𝑜 A)))
41, 3sylan9bbr 436 . . 3 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (B A ↔ (𝐶 ·𝑜 B) (𝐶 ·𝑜 A)))
54notbid 591 . 2 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (¬ B A ↔ ¬ (𝐶 ·𝑜 B) (𝐶 ·𝑜 A)))
6 simpl1 906 . . 3 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → A 𝜔)
7 simpl2 907 . . 3 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → B 𝜔)
8 nntri1 6006 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB ↔ ¬ B A))
96, 7, 8syl2anc 391 . 2 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (AB ↔ ¬ B A))
10 simpl3 908 . . . 4 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → 𝐶 𝜔)
11 nnmcl 5992 . . . 4 ((𝐶 𝜔 A 𝜔) → (𝐶 ·𝑜 A) 𝜔)
1210, 6, 11syl2anc 391 . . 3 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (𝐶 ·𝑜 A) 𝜔)
13 nnmcl 5992 . . . 4 ((𝐶 𝜔 B 𝜔) → (𝐶 ·𝑜 B) 𝜔)
1410, 7, 13syl2anc 391 . . 3 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (𝐶 ·𝑜 B) 𝜔)
15 nntri1 6006 . . 3 (((𝐶 ·𝑜 A) 𝜔 (𝐶 ·𝑜 B) 𝜔) → ((𝐶 ·𝑜 A) ⊆ (𝐶 ·𝑜 B) ↔ ¬ (𝐶 ·𝑜 B) (𝐶 ·𝑜 A)))
1612, 14, 15syl2anc 391 . 2 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → ((𝐶 ·𝑜 A) ⊆ (𝐶 ·𝑜 B) ↔ ¬ (𝐶 ·𝑜 B) (𝐶 ·𝑜 A)))
175, 9, 163bitr4d 209 1 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (AB ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ⊆ (𝐶 ·𝑜 B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390  wss 2911  c0 3218  𝜔com 4255  (class class class)co 5452   ·𝑜 comu 5931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-oadd 5937  df-omul 5938
This theorem is referenced by:  nnmcan  6021  archnqq  6393
  Copyright terms: Public domain W3C validator