Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmcan Structured version   GIF version

Theorem nnmcan 6003
 Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) A) → ((A ·𝑜 B) = (A ·𝑜 𝐶) ↔ B = 𝐶))

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 878 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) ↔ (B 𝜔 𝐶 𝜔 A 𝜔))
2 nnmword 6002 . . . . 5 (((B 𝜔 𝐶 𝜔 A 𝜔) A) → (B𝐶 ↔ (A ·𝑜 B) ⊆ (A ·𝑜 𝐶)))
31, 2sylanb 268 . . . 4 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) A) → (B𝐶 ↔ (A ·𝑜 B) ⊆ (A ·𝑜 𝐶)))
4 3anrev 883 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) ↔ (𝐶 𝜔 B 𝜔 A 𝜔))
5 nnmword 6002 . . . . 5 (((𝐶 𝜔 B 𝜔 A 𝜔) A) → (𝐶B ↔ (A ·𝑜 𝐶) ⊆ (A ·𝑜 B)))
64, 5sylanb 268 . . . 4 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) A) → (𝐶B ↔ (A ·𝑜 𝐶) ⊆ (A ·𝑜 B)))
73, 6anbi12d 445 . . 3 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) A) → ((B𝐶 𝐶B) ↔ ((A ·𝑜 B) ⊆ (A ·𝑜 𝐶) (A ·𝑜 𝐶) ⊆ (A ·𝑜 B))))
87bicomd 129 . 2 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) A) → (((A ·𝑜 B) ⊆ (A ·𝑜 𝐶) (A ·𝑜 𝐶) ⊆ (A ·𝑜 B)) ↔ (B𝐶 𝐶B)))
9 eqss 2937 . 2 ((A ·𝑜 B) = (A ·𝑜 𝐶) ↔ ((A ·𝑜 B) ⊆ (A ·𝑜 𝐶) (A ·𝑜 𝐶) ⊆ (A ·𝑜 B)))
10 eqss 2937 . 2 (B = 𝐶 ↔ (B𝐶 𝐶B))
118, 9, 103bitr4g 212 1 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) A) → ((A ·𝑜 B) = (A ·𝑜 𝐶) ↔ B = 𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 873   = wceq 1228   ∈ wcel 1374   ⊆ wss 2894  ∅c0 3201  𝜔com 4240  (class class class)co 5436   ·𝑜 comu 5914 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921 This theorem is referenced by:  mulcanpig  6195  enq0tr  6289
 Copyright terms: Public domain W3C validator