ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 Structured version   GIF version

Theorem nntri1 5985
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1 ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB ↔ ¬ B A))

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4225 . 2 (AB → ¬ B A)
2 nntri3or 5983 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))
3 df-3or 872 . . . . . . 7 ((A B A = B B A) ↔ ((A B A = B) B A))
43biimpi 113 . . . . . 6 ((A B A = B B A) → ((A B A = B) B A))
54orcomd 635 . . . . 5 ((A B A = B B A) → (B A (A B A = B)))
65ord 630 . . . 4 ((A B A = B B A) → (¬ B A → (A B A = B)))
72, 6syl 14 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → (¬ B A → (A B A = B)))
8 nnord 4257 . . . . . . 7 (B 𝜔 → Ord B)
9 ordelss 4061 . . . . . . 7 ((Ord B A B) → AB)
108, 9sylan 267 . . . . . 6 ((B 𝜔 A B) → AB)
1110ex 108 . . . . 5 (B 𝜔 → (A BAB))
1211adantl 262 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A BAB))
13 eqimss 2970 . . . . 5 (A = BAB)
1413a1i 9 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A = BAB))
1512, 14jaod 624 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → ((A B A = B) → AB))
167, 15syld 40 . 2 ((A 𝜔 B 𝜔) → (¬ B AAB))
171, 16impbid2 131 1 ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB ↔ ¬ B A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3o 870   = wceq 1226   wcel 1370  wss 2890  Ord word 4044  𝜔com 4236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-uni 3551  df-int 3586  df-tr 3825  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237
This theorem is referenced by:  nnmword  5998  nnawordex  6008
  Copyright terms: Public domain W3C validator