ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 Structured version   GIF version

Theorem nntri1 6006
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1 ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB ↔ ¬ B A))

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4244 . 2 (AB → ¬ B A)
2 nntri3or 6004 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))
3 df-3or 885 . . . . . . 7 ((A B A = B B A) ↔ ((A B A = B) B A))
43biimpi 113 . . . . . 6 ((A B A = B B A) → ((A B A = B) B A))
54orcomd 647 . . . . 5 ((A B A = B B A) → (B A (A B A = B)))
65ord 642 . . . 4 ((A B A = B B A) → (¬ B A → (A B A = B)))
72, 6syl 14 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → (¬ B A → (A B A = B)))
8 nnord 4276 . . . . . . 7 (B 𝜔 → Ord B)
9 ordelss 4081 . . . . . . 7 ((Ord B A B) → AB)
108, 9sylan 267 . . . . . 6 ((B 𝜔 A B) → AB)
1110ex 108 . . . . 5 (B 𝜔 → (A BAB))
1211adantl 262 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A BAB))
13 eqimss 2991 . . . . 5 (A = BAB)
1413a1i 9 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A = BAB))
1512, 14jaod 636 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → ((A B A = B) → AB))
167, 15syld 40 . 2 ((A 𝜔 B 𝜔) → (¬ B AAB))
171, 16impbid2 131 1 ((A 𝜔 B 𝜔) → (AB ↔ ¬ B A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  wss 2911  Ord word 4064  𝜔com 4255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-uni 3571  df-int 3606  df-tr 3845  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256
This theorem is referenced by:  nnmword  6020  nnawordex  6030
  Copyright terms: Public domain W3C validator