Theorem mulpiord 6415

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
2		fvres 5198	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (( ·𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ( ·𝑜 ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 5515	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-mi 6404	. . . . 5 ⊢ ·N = ( ·𝑜 ↾ (N × N))
5	4	fveq1i 5179	. . . 4 ⊢ ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (( ·𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 5	eqtri 2060	. . 3 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (( ·𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
7		df-ov 5515	. . 3 ⊢ (𝐴 ·𝑜 𝐵) = ( ·𝑜 ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2097	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
9	1, 8	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378   × cxp 4343   ↾ cres 4347  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ·_𝑜 comu 5999  Ncnpi 6370   ·_N cmi 6372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-res 4357  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515  df-mi 6404

This theorem is referenced by:  mulidpi  6416  mulclpi  6426  mulcompig  6429  mulasspig  6430  distrpig  6431  mulcanpig  6433  ltmpig  6437  archnqq  6515  enq0enq  6529  addcmpblnq0  6541  mulcmpblnq0  6542  mulcanenq0ec  6543  addclnq0  6549  mulclnq0  6550  nqpnq0nq  6551  nqnq0a  6552  nqnq0m  6553  nq0m0r  6554  distrnq0  6557  addassnq0lemcl  6559