ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   GIF version

Theorem mulclpi 6312
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((A N B N) → (A ·N B) N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 6301 . 2 ((A N B N) → (A ·N B) = (A ·𝑜 B))
2 pinn 6293 . . . 4 (A NA 𝜔)
3 pinn 6293 . . . 4 (B NB 𝜔)
4 nnmcl 5999 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A ·𝑜 B) 𝜔)
52, 3, 4syl2an 273 . . 3 ((A N B N) → (A ·𝑜 B) 𝜔)
6 elni2 6298 . . . . . . 7 (B N ↔ (B 𝜔 B))
76simprbi 260 . . . . . 6 (B N → ∅ B)
87adantl 262 . . . . 5 ((A N B N) → ∅ B)
93adantl 262 . . . . . 6 ((A N B N) → B 𝜔)
102adantr 261 . . . . . 6 ((A N B N) → A 𝜔)
11 elni2 6298 . . . . . . . 8 (A N ↔ (A 𝜔 A))
1211simprbi 260 . . . . . . 7 (A N → ∅ A)
1312adantr 261 . . . . . 6 ((A N B N) → ∅ A)
14 nnmordi 6025 . . . . . 6 (((B 𝜔 A 𝜔) A) → (∅ B → (A ·𝑜 ∅) (A ·𝑜 B)))
159, 10, 13, 14syl21anc 1133 . . . . 5 ((A N B N) → (∅ B → (A ·𝑜 ∅) (A ·𝑜 B)))
168, 15mpd 13 . . . 4 ((A N B N) → (A ·𝑜 ∅) (A ·𝑜 B))
17 ne0i 3224 . . . 4 ((A ·𝑜 ∅) (A ·𝑜 B) → (A ·𝑜 B) ≠ ∅)
1816, 17syl 14 . . 3 ((A N B N) → (A ·𝑜 B) ≠ ∅)
19 elni 6292 . . 3 ((A ·𝑜 B) N ↔ ((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 B) ≠ ∅))
205, 18, 19sylanbrc 394 . 2 ((A N B N) → (A ·𝑜 B) N)
211, 20eqeltrd 2111 1 ((A N B N) → (A ·N B) N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  wne 2201  c0 3218  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   ·𝑜 comu 5938  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-mi 6290
This theorem is referenced by:  mulasspig  6316  distrpig  6317  ltmpig  6323  enqer  6342  enqdc  6345  addcmpblnq  6351  mulcmpblnq  6352  addpipqqslem  6353  mulpipq2  6355  mulpipqqs  6357  ordpipqqs  6358  addclnq  6359  mulclnq  6360  addcomnqg  6365  addassnqg  6366  mulassnqg  6368  mulcanenq  6369  distrnqg  6371  recexnq  6374  nqtri3or  6380  ltdcnq  6381  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  1lt2nq  6389  ltexnqq  6391  archnqq  6400  addcmpblnq0  6425  mulcmpblnq0  6426  mulcanenq0ec  6427  addclnq0  6433  mulclnq0  6434  nqpnq0nq  6435  nqnq0a  6436  nqnq0m  6437  nq0m0r  6438  distrnq0  6441  addassnq0lemcl  6443
  Copyright terms: Public domain W3C validator