ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0m Structured version   GIF version

Theorem nqnq0m 6437
Description: Multiplication of positive fractions is equal with ·Q or ·Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0m ((A Q B Q) → (A ·Q B) = (A ·Q0 B))

Proof of Theorem nqnq0m
Dummy variables z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6362 . . . 4 (A Qzw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ))
2 nqpi 6362 . . . 4 (B Qvu((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q ))
31, 2anim12i 321 . . 3 ((A Q B Q) → (zw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) vu((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
4 ee4anv 1806 . . 3 (zwvu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) ↔ (zw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) vu((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
53, 4sylibr 137 . 2 ((A Q B Q) → zwvu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
6 oveq12 5464 . . . . . . 7 ((A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q ) → (A ·Q B) = ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ))
7 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . 11 ((z N v N) → (z ·N v) = (z ·𝑜 v))
87ad2ant2r 478 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N v) = (z ·𝑜 v))
9 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . 11 ((w N u N) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
109ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
118, 10opeq12d 3548 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → ⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩ = ⟨(z ·𝑜 v), (w ·𝑜 u)⟩)
1211eceq1d 6078 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q0 = [⟨(z ·𝑜 v), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
13 mulpipqqs 6357 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q )
14 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . 11 ((z N v N) → (z ·N v) N)
1514ad2ant2r 478 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N v) N)
16 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . 11 ((w N u N) → (w ·N u) N)
1716ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
18 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . 10 (((z ·N v) N (w ·N u) N) → [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q0 = [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q )
1915, 17, 18syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q0 = [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q )
2013, 19eqtr4d 2072 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q0 )
21 pinn 6293 . . . . . . . . . 10 (z Nz 𝜔)
2221anim1i 323 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z 𝜔 w N))
23 pinn 6293 . . . . . . . . . 10 (v Nv 𝜔)
2423anim1i 323 . . . . . . . . 9 ((v N u N) → (v 𝜔 u N))
25 mulnnnq0 6432 . . . . . . . . 9 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨(z ·𝑜 v), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
2622, 24, 25syl2an 273 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨(z ·𝑜 v), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
2712, 20, 263eqtr4d 2079 . . . . . . 7 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
286, 27sylan9eqr 2091 . . . . . 6 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A ·Q B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
29 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → [⟨z, w⟩] ~Q0 = [⟨z, w⟩] ~Q )
3029adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨z, w⟩] ~Q0 = [⟨z, w⟩] ~Q )
3130eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → (A = [⟨z, w⟩] ~Q0A = [⟨z, w⟩] ~Q ))
32 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . 11 ((v N u N) → [⟨v, u⟩] ~Q0 = [⟨v, u⟩] ~Q )
3332adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨v, u⟩] ~Q0 = [⟨v, u⟩] ~Q )
3433eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → (B = [⟨v, u⟩] ~Q0B = [⟨v, u⟩] ~Q ))
3531, 34anbi12d 442 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → ((A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 ) ↔ (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
3635pm5.32i 427 . . . . . . 7 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
37 oveq12 5464 . . . . . . . 8 ((A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 ) → (A ·Q0 B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
3837adantl 262 . . . . . . 7 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 )) → (A ·Q0 B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
3936, 38sylbir 125 . . . . . 6 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A ·Q0 B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
4028, 39eqtr4d 2072 . . . . 5 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A ·Q B) = (A ·Q0 B))
4140an4s 522 . . . 4 ((((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A ·Q B) = (A ·Q0 B))
4241exlimivv 1773 . . 3 (vu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A ·Q B) = (A ·Q0 B))
4342exlimivv 1773 . 2 (zwvu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A ·Q B) = (A ·Q0 B))
445, 43syl 14 1 ((A Q B Q) → (A ·Q B) = (A ·Q0 B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   ·Q cmq 6267   ~Q0 ceq0 6270   ·Q0 cmq0 6274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-mq0 6410
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  6476  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator