Theorem ee4anv 1806

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 31-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ee4anv	⊢ (∃x∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃z∃wψ))

Distinct variable groups:   φ,z   φ,w   ψ,x   ψ,y   y,z   x,w

Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(z,w)

Proof of Theorem ee4anv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1551	. . 3 ⊢ (∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ ∃z∃y∃w(φ ∧ ψ))
2	1	exbii 1493	. 2 ⊢ (∃x∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ ∃x∃z∃y∃w(φ ∧ ψ))
3		eeanv 1804	. . 3 ⊢ (∃y∃w(φ ∧ ψ) ↔ (∃yφ ∧ ∃wψ))
4	3	2exbii 1494	. 2 ⊢ (∃x∃z∃y∃w(φ ∧ ψ) ↔ ∃x∃z(∃yφ ∧ ∃wψ))
5		eeanv 1804	. 2 ⊢ (∃x∃z(∃yφ ∧ ∃wψ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃z∃wψ))
6	2, 4, 5	3bitri 195	1 ⊢ (∃x∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃z∃wψ))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-ial 1424

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347

This theorem is referenced by:  ee8anv  1807  cgsex4g  2585  th3qlem1  6144  dmaddpq  6363  dmmulpq  6364  ltdcnq  6381  enq0ref  6416  nqpnq0nq  6436  nqnq0a  6437  nqnq0m  6438  genpdisj  6506  axaddcl  6750  axmulcl  6752