Theorem ee4anv 1787

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 31-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ee4anv	⊢ (∃x∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃z∃wψ))

Distinct variable groups:   φ,z   φ,w   ψ,x   ψ,y   y,z   x,w

Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(z,w)

Proof of Theorem ee4anv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1532	. . 3 ⊢ (∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ ∃z∃y∃w(φ ∧ ψ))
2	1	exbii 1474	. 2 ⊢ (∃x∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ ∃x∃z∃y∃w(φ ∧ ψ))
3		eeanv 1785	. . 3 ⊢ (∃y∃w(φ ∧ ψ) ↔ (∃yφ ∧ ∃wψ))
4	3	2exbii 1475	. 2 ⊢ (∃x∃z∃y∃w(φ ∧ ψ) ↔ ∃x∃z(∃yφ ∧ ∃wψ))
5		eeanv 1785	. 2 ⊢ (∃x∃z(∃yφ ∧ ∃wψ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃z∃wψ))
6	2, 4, 5	3bitri 195	1 ⊢ (∃x∃y∃z∃w(φ ∧ ψ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃z∃wψ))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1358

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-ial 1405

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1326

This theorem is referenced by:  ee8anv  1788  cgsex4g  2564  th3qlem1  6115  dmaddpq  6232  dmmulpq  6233  ltdcnq  6250  enq0ref  6282  nqpnq0nq  6302  nqnq0a  6303  nqnq0m  6304  genpdisj  6372  axaddcl  6559  axmulcl  6561