Theorem nqnq0pi 6536

Description: A non-negative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0pi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4374	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))
2		vex 2560	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima2 4674	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
4		elxp 4362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (N × N) ↔ ∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)))
5	4	anbi1i 431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
6		19.41vv 1783	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
7	5, 6	bitr4i 176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
8		simplr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N))
9		breq1 3767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
10	9	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
11	10	biimpa 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
13		enq0er 6533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ~Q0 Er (ω × N))
15		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
16	14, 15	ercl2 6119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (ω × N))
17		elxp 4362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ω × N) ↔ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
18	16, 17	sylib 127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
19		19.42vv 1788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) ↔ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
20	12, 18, 19	sylanbrc 394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
21	8, 11, 20	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
22		simprrl 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ ω)
23		elni 6406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≠ ∅))
24	23	simprbi 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ≠ ∅)
25	24	neneqd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ N → ¬ 𝑧 = ∅)
26	25	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑧 = ∅)
27		elni 6406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 ∈ N ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑣 ≠ ∅))
28	27	simprbi 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ≠ ∅)
29	28	neneqd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ N → ¬ 𝑣 = ∅)
30	29	ad2antll 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑣 = ∅)
31	26, 30	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅))
32		pm4.56 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅) ↔ ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
33	31, 32	sylib 127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
34		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
35	34	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
36		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
37	36	ad2antll 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnm00 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑧 ·𝑜 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
39	35, 37, 38	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·𝑜 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
40	33, 39	mtbird 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 ·𝑜 𝑣) = ∅)
41	40	ad2ant2rl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑧 ·𝑜 𝑣) = ∅)
42		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩))
43	42	biimpac 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
44	43	ad2ant2lr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
45		enq0breq 6534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·𝑜 𝑣) = (𝑤 ·𝑜 𝑢)))
46	34, 45	sylanl1 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·𝑜 𝑣) = (𝑤 ·𝑜 𝑢)))
47	46	ad2ant2rl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·𝑜 𝑣) = (𝑤 ·𝑜 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑧 ·𝑜 𝑣) = (𝑤 ·𝑜 𝑢))
49	48	eqeq1d 2048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑧 ·𝑜 𝑣) = ∅ ↔ (𝑤 ·𝑜 𝑢) = ∅))
50	41, 49	mtbid 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 ·𝑜 𝑢) = ∅)
51		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
52		nnm00 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·𝑜 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
53	51, 52	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·𝑜 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
54	53	ad2ant2lr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑤 ·𝑜 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
55	54	ad2ant2rl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑤 ·𝑜 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
56	50, 55	mtbid 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
57		pm4.56 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅) ↔ ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
58	56, 57	sylibr 137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅))
59	58	simprd 107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ 𝑢 = ∅)
60	59	neneqad 2284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ≠ ∅)
61		elni 6406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ N ↔ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑢 ≠ ∅))
62	22, 60, 61	sylanbrc 394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
63		simprrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
64		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N)))
65		opelxp 4374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))
66	64, 65	syl6bb 185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
67	66	ad2antrl 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
68	62, 63, 67	mpbir2and 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
69	68	exlimivv 1776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
70	21, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
71	70	exlimivv 1776	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
72	7, 71	sylbi 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
73	72	exlimiv 1489	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
74	3, 73	sylbi 114	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) → 𝑦 ∈ (N × N))
75	74	ssriv 2949	. . . 4 ⊢ ( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N)
76		ecinxp 6181	. . . 4 ⊢ ((( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N)) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
77	75, 76	mpan 400	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
78	1, 77	sylbir 125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
79		enq0enq 6529	. . 3 ⊢ ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
80		eceq2 6143	. . 3 ⊢ ( ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
81	79, 80	ax-mp 7	. 2 ⊢ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
82	78, 81	syl6eqr 2090	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204   ∩ cin 2916   ⊆ wss 2917  ∅c0 3224  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ωcom 4313   × cxp 4343   “ cima 4348  (class class class)co 5512   ·_𝑜 comu 5999   Er wer 6103  [cec 6104  Ncnpi 6370   ~_Q ceq 6377   ~_Q0 ceq0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq 6445  df-enq0 6522

This theorem is referenced by:  nqnq0  6539  nqpnq0nq  6551  nqnq0a  6552  nqnq0m  6553  prarloclemlo  6592  prarloclemcalc  6600