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Theorem prarloclemlo 6476
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6485. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
Distinct variable groups:   y,A   y,𝐿   y,𝑃   y,𝑈   y,𝑋

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables f g z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((f 𝜔 g 𝜔 𝜔) → ((f +𝑜 g) +𝑜 ) = (f +𝑜 (g +𝑜 )))
21adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f +𝑜 g) +𝑜 ) = (f +𝑜 (g +𝑜 )))
3 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → y 𝜔)
4 1onn 6029 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 𝜔
5 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y 𝜔 1𝑜 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) 𝜔)
63, 4, 5sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) 𝜔)
7 2onn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 𝜔
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → 2𝑜 𝜔)
9 simpll 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → 𝑋 𝜔)
102, 6, 8, 9caovassd 5602 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → 1𝑜 𝜔)
12 nnacom 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f +𝑜 g) = (g +𝑜 f))
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f +𝑜 g) = (g +𝑜 f))
14 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f +𝑜 g) 𝜔)
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f +𝑜 g) 𝜔)
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5627 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
1713, 11, 9caovcomd 5599 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = (𝑋 +𝑜 1𝑜))
18 nnon 4275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 𝜔 → 𝑋 On)
19 oa1suc 5986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 On → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
2117, 20eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = suc 𝑋)
2221oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋))
2310, 16, 223eqtr2rd 2076 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋) = (((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
2423opeq1d 3546 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
2524eceq1d 6078 . . . . . . . . 9 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
2625oveq1d 5470 . . . . . . . 8 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2726oveq2d 5471 . . . . . . 7 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2827eleq1d 2103 . . . . . 6 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
2928biimpd 132 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 → (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
30 simplr1 945 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
31 simplr2 946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → A 𝐿)
32 elprnql 6463 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) → A Q)
3330, 31, 32syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → A Q)
34 1pi 6299 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 N
35 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y 𝜔 1𝑜 N) → (y +𝑜 1𝑜) N)
363, 34, 35sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) N)
37 opelxpi 4319 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y +𝑜 1𝑜) N 1𝑜 N) → ⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N))
3834, 37mpan2 401 . . . . . . . . . . . . 13 ((y +𝑜 1𝑜) N → ⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N))
39 enqex 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q V
4039ecelqsi 6096 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2128 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q)
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q)
44 simplr3 947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → 𝑃 Q)
45 mulclnq 6360 . . . . . . . . . . . 12 (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
4643, 44, 45syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
47 nqnq0a 6436 . . . . . . . . . . 11 ((A Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q) → (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4833, 46, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
49 nqnq0m 6437 . . . . . . . . . . . . 13 (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5043, 44, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
51 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y +𝑜 1𝑜) N 1𝑜 N) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5352oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5450, 53eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5554oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5648, 55eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5756eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿 ↔ (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿))
5857anbi1d 438 . . . . . . 7 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (((A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
59 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = (y +𝑜 1𝑜) → ⟨z, 1𝑜⟩ = ⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩)
6059eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = (y +𝑜 1𝑜) → [⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 )
6160oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (z = (y +𝑜 1𝑜) → ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
6261oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 (z = (y +𝑜 1𝑜) → (A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
6362eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (z = (y +𝑜 1𝑜) → ((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 ↔ (A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿))
64 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (z = (y +𝑜 1𝑜) → (z +𝑜 2𝑜) = ((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜))
6564oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z = (y +𝑜 1𝑜) → ((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = (((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
6665opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = (y +𝑜 1𝑜) → ⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
6766eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = (y +𝑜 1𝑜) → [⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
6867oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (z = (y +𝑜 1𝑜) → ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6968oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 (z = (y +𝑜 1𝑜) → (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7069eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (z = (y +𝑜 1𝑜) → ((A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
7163, 70anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (z = (y +𝑜 1𝑜) → (((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
7271rspcev 2650 . . . . . . . . 9 (((y +𝑜 1𝑜) 𝜔 ((A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → z 𝜔 ((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
7372ex 108 . . . . . . . 8 ((y +𝑜 1𝑜) 𝜔 → (((A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → z 𝜔 ((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
746, 73syl 14 . . . . . . 7 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (((A +Q0 ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → z 𝜔 ((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
7558, 74sylbid 139 . . . . . 6 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (((A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → z 𝜔 ((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
76 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . 12 (z = y → ⟨z, 1𝑜⟩ = ⟨y, 1𝑜⟩)
7776eceq1d 6078 . . . . . . . . . . 11 (z = y → [⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 )
7877oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 (z = y → ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
7978oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (z = y → (A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
8079eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (z = y → ((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 ↔ (A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿))
81 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = y → (z +𝑜 2𝑜) = (y +𝑜 2𝑜))
8281oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (z = y → ((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
8382opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . 12 (z = y → ⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
8483eceq1d 6078 . . . . . . . . . . 11 (z = y → [⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
8584oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 (z = y → ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
8685oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (z = y → (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
8786eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (z = y → ((A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
8880, 87anbi12d 442 . . . . . . 7 (z = y → (((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
8988cbvrexv 2528 . . . . . 6 (z 𝜔 ((A +Q0 ([⟨z, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((z +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
9075, 89syl6ib 150 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (((A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(((y +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
9129, 90sylan2d 278 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (((A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
9291expdimp 246 . . 3 ((((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿) → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
9392adantld 263 . 2 ((((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿) → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
9493ex 108 1 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝐿 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  cop 3370  Oncon0 4066  suc csuc 4068  𝜔com 4256   × cxp 4286  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  2𝑜c2o 5934   +𝑜 coa 5937  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267   ~Q0 ceq0 6270   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448
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