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Theorem prarloclemlo 6590
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6599. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐿   𝑦,𝑃   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 )))
21adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 )))
3 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
4 1onn 6093 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
5 nnacl 6059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
63, 4, 5sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
7 2onn 6094 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ∈ ω
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 2𝑜 ∈ ω)
9 simpll 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑋 ∈ ω)
102, 6, 8, 9caovassd 5660 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 1𝑜 ∈ ω)
12 nnacom 6063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
14 nnacl 6059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
1713, 11, 9caovcomd 5657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = (𝑋 +𝑜 1𝑜))
18 nnon 4332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ω → 𝑋 ∈ On)
19 oa1suc 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ On → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
2117, 20eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = suc 𝑋)
2221oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋))
2310, 16, 223eqtr2rd 2079 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
2423opeq1d 3555 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
2524eceq1d 6142 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
2625oveq1d 5527 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2726oveq2d 5528 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2827eleq1d 2106 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2928biimpd 132 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30 simplr1 946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
31 simplr2 947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴𝐿)
32 elprnql 6577 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
3330, 31, 32syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴Q)
34 1pi 6411 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜N
35 nnppipi 6439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
363, 34, 35sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
37 opelxpi 4376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
3834, 37mpan2 401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
39 enqex 6456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q ∈ V
4039ecelqsi 6160 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6444 . . . . . . . . . . . . . 14 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2131 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
44 simplr3 948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃Q)
45 mulclnq 6472 . . . . . . . . . . . 12 (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
4643, 44, 45syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
47 nqnq0a 6550 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴Q ∧ ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4833, 46, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
49 nqnq0m 6551 . . . . . . . . . . . . 13 (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5043, 44, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
51 nqnq0pi 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5352oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5450, 53eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5554oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5648, 55eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5756eleq1d 2106 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
5857anbi1d 438 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
59 opeq1 3549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩)
6059eceq1d 6142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 )
6160oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
6261oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
6362eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
64 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜))
6564oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
6665opeq1d 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
6766eceq1d 6142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
6867oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6968oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7069eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7163, 70anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7271rspcev 2656 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7372ex 108 . . . . . . . 8 ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
746, 73syl 14 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7558, 74sylbid 139 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
76 opeq1 3549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨𝑦, 1𝑜⟩)
7776eceq1d 6142 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 )
7877oveq1d 5527 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
7978oveq2d 5528 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
8079eleq1d 2106 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
81 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
8281oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
8382opeq1d 3555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
8483eceq1d 6142 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
8584oveq1d 5527 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
8685oveq2d 5528 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
8786eleq1d 2106 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
8880, 87anbi12d 442 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
8988cbvrexv 2534 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
9075, 89syl6ib 150 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9129, 90sylan2d 278 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9291expdimp 246 . . 3 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9392adantld 263 . 2 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9493ex 108 1 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  wrex 2307  cop 3378  Oncon0 4100  suc csuc 4102  ωcom 4313   × cxp 4343  (class class class)co 5512  1𝑜c1o 5994  2𝑜c2o 5995   +𝑜 coa 5998  [cec 6104   / cqs 6105  Ncnpi 6368   ~Q ceq 6375  Qcnq 6376   +Q cplq 6378   ·Q cmq 6379   ~Q0 ceq0 6382   +Q0 cplq0 6385   ·Q0 cmq0 6386  Pcnp 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562
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