Theorem enq0ex 6294

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	⊢ ~Q0 ∈ V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4243	. . . 4 ⊢ 𝜔 ∈ V
2		niex 6172	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	1, 2	xpex 4380	. . 3 ⊢ (𝜔 × N) ∈ V
4	3, 3	xpex 4380	. 2 ⊢ ((𝜔 × N) × (𝜔 × N)) ∈ V
5		df-enq0 6279	. . 3 ⊢ ~Q0 = {⟨v, u⟩ ∣ ((v ∈ (𝜔 × N) ∧ u ∈ (𝜔 × N)) ∧ ∃x∃y∃z∃w((v = ⟨x, y⟩ ∧ u = ⟨z, w⟩) ∧ (x ·𝑜 w) = (y ·𝑜 z)))}
6		opabssxp 4341	. . 3 ⊢ {⟨v, u⟩ ∣ ((v ∈ (𝜔 × N) ∧ u ∈ (𝜔 × N)) ∧ ∃x∃y∃z∃w((v = ⟨x, y⟩ ∧ u = ⟨z, w⟩) ∧ (x ·𝑜 w) = (y ·𝑜 z)))} ⊆ ((𝜔 × N) × (𝜔 × N))
7	5, 6	eqsstri 2952	. 2 ⊢ ~Q0 ⊆ ((𝜔 × N) × (𝜔 × N))
8	4, 7	ssexi 3869	1 ⊢ ~Q0 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  Vcvv 2535  ⟨cop 3353  {copab 3791  𝜔com 4240   × cxp 4270  (class class class)co 5436   ·_𝑜 comu 5914  Ncnpi 6130   ~_Q0 ceq0 6144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-iinf 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-opab 3793  df-iom 4241  df-xp 4278  df-ni 6164  df-enq0 6279

This theorem is referenced by:  nqnq0  6296  addnnnq0  6304  mulnnnq0  6305  addclnq0  6306  mulclnq0  6307  prarloclemcalc  6356