Theorem enq0ex 6421

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	⊢ ~Q0 ∈ V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4259	. . . 4 ⊢ 𝜔 ∈ V
2		niex 6296	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	1, 2	xpex 4396	. . 3 ⊢ (𝜔 × N) ∈ V
4	3, 3	xpex 4396	. 2 ⊢ ((𝜔 × N) × (𝜔 × N)) ∈ V
5		df-enq0 6406	. . 3 ⊢ ~Q0 = {⟨v, u⟩ ∣ ((v ∈ (𝜔 × N) ∧ u ∈ (𝜔 × N)) ∧ ∃x∃y∃z∃w((v = ⟨x, y⟩ ∧ u = ⟨z, w⟩) ∧ (x ·𝑜 w) = (y ·𝑜 z)))}
6		opabssxp 4357	. . 3 ⊢ {⟨v, u⟩ ∣ ((v ∈ (𝜔 × N) ∧ u ∈ (𝜔 × N)) ∧ ∃x∃y∃z∃w((v = ⟨x, y⟩ ∧ u = ⟨z, w⟩) ∧ (x ·𝑜 w) = (y ·𝑜 z)))} ⊆ ((𝜔 × N) × (𝜔 × N))
7	5, 6	eqsstri 2969	. 2 ⊢ ~Q0 ⊆ ((𝜔 × N) × (𝜔 × N))
8	4, 7	ssexi 3886	1 ⊢ ~Q0 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  ⟨cop 3370  {copab 3808  𝜔com 4256   × cxp 4286  (class class class)co 5455   ·_𝑜 comu 5938  Ncnpi 6256   ~_Q0 ceq0 6270

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-opab 3810  df-iom 4257  df-xp 4294  df-ni 6288  df-enq0 6406

This theorem is referenced by:  nqnq0  6423  addnnnq0  6431  mulnnnq0  6432  addclnq0  6433  mulclnq0  6434  prarloclemcalc  6484