Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 GIF version

 Description: Closure of addition on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6523 . . 3 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5519 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
32eleq1d 2106 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5520 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
54eleq1d 2106 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6 addnnnq0 6547 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
7 pinn 6407 . . . . . . . . 9 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
8 nnmcl 6060 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
97, 8sylan2 270 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
10 pinn 6407 . . . . . . . . 9 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
11 nnmcl 6060 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
1210, 11sylan 267 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
13 nnacl 6059 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω)
149, 12, 13syl2an 273 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω)
1514an42s 523 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω)
16 mulpiord 6415 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑤))
17 mulclpi 6426 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1816, 17eqeltrrd 2115 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
1918ad2ant2l 477 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
2015, 19jca 290 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N))
21 opelxpi 4376 . . . . 5 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
22 enq0ex 6537 . . . . . 6 ~Q0 ∈ V
2322ecelqsi 6160 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
256, 24eqeltrd 2114 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
261, 3, 5, 252ecoptocl 6194 . 2 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
2726, 1syl6eleqr 2131 1 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378  ωcom 4313   × cxp 4343  (class class class)co 5512   +𝑜 coa 5998   ·𝑜 comu 5999  [cec 6104   / cqs 6105  Ncnpi 6370   ·N cmi 6372   ~Q0 ceq0 6384  Q0cnq0 6385   +Q0 cplq0 6387 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525 This theorem is referenced by:  distnq0r  6561  prarloclemcalc  6600
 Copyright terms: Public domain W3C validator