ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 Structured version   GIF version

Theorem addclnq0 6433
Description: Closure of addition on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 ((A Q0 B Q0) → (A +Q0 B) Q0)

Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6407 . . 3 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
32eleq1d 2103 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 ) ↔ (A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 B))
54eleq1d 2103 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 ) ↔ (A +Q0 B) ((𝜔 × N) / ~Q0 )))
6 addnnnq0 6431 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
7 pinn 6293 . . . . . . . . 9 (w Nw 𝜔)
8 nnmcl 5999 . . . . . . . . 9 ((x 𝜔 w 𝜔) → (x ·𝑜 w) 𝜔)
97, 8sylan2 270 . . . . . . . 8 ((x 𝜔 w N) → (x ·𝑜 w) 𝜔)
10 pinn 6293 . . . . . . . . 9 (y Ny 𝜔)
11 nnmcl 5999 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 z 𝜔) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
1210, 11sylan 267 . . . . . . . 8 ((y N z 𝜔) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
13 nnacl 5998 . . . . . . . 8 (((x ·𝑜 w) 𝜔 (y ·𝑜 z) 𝜔) → ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔)
149, 12, 13syl2an 273 . . . . . . 7 (((x 𝜔 w N) (y N z 𝜔)) → ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔)
1514an42s 523 . . . . . 6 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔)
16 mulpiord 6301 . . . . . . . 8 ((y N w N) → (y ·N w) = (y ·𝑜 w))
17 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((y N w N) → (y ·N w) N)
1816, 17eqeltrrd 2112 . . . . . . 7 ((y N w N) → (y ·𝑜 w) N)
1918ad2ant2l 477 . . . . . 6 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (y ·𝑜 w) N)
2015, 19jca 290 . . . . 5 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔 (y ·𝑜 w) N))
21 opelxpi 4319 . . . . 5 ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔 (y ·𝑜 w) N) → ⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (𝜔 × N))
22 enq0ex 6421 . . . . . 6 ~Q0 V
2322ecelqsi 6096 . . . . 5 (⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (𝜔 × N) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
256, 24eqeltrd 2111 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
261, 3, 5, 252ecoptocl 6130 . 2 ((A Q0 B Q0) → (A +Q0 B) ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
2726, 1syl6eleqr 2128 1 ((A Q0 B Q0) → (A +Q0 B) Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  𝜔com 4256   × cxp 4286  (class class class)co 5455   +𝑜 coa 5937   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271   +Q0 cplq0 6273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409
This theorem is referenced by:  distnq0r  6445  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator