ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclnq0 Structured version   GIF version

Theorem mulclnq0 6307
Description: Closure of multiplication on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq0 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) Q0)

Proof of Theorem mulclnq0
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6280 . . 3 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5443 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
32eleq1d 2088 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 ) ↔ (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5444 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 B))
54eleq1d 2088 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 ) ↔ (A ·Q0 B) ((𝜔 × N) / ~Q0 )))
6 mulnnnq0 6305 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
7 nnmcl 5975 . . . . . . 7 ((x 𝜔 z 𝜔) → (x ·𝑜 z) 𝜔)
8 mulpiord 6177 . . . . . . . 8 ((y N w N) → (y ·N w) = (y ·𝑜 w))
9 mulclpi 6188 . . . . . . . 8 ((y N w N) → (y ·N w) N)
108, 9eqeltrrd 2097 . . . . . . 7 ((y N w N) → (y ·𝑜 w) N)
117, 10anim12i 321 . . . . . 6 (((x 𝜔 z 𝜔) (y N w N)) → ((x ·𝑜 z) 𝜔 (y ·𝑜 w) N))
1211an4s 509 . . . . 5 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ((x ·𝑜 z) 𝜔 (y ·𝑜 w) N))
13 opelxpi 4303 . . . . 5 (((x ·𝑜 z) 𝜔 (y ·𝑜 w) N) → ⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩ (𝜔 × N))
14 enq0ex 6294 . . . . . 6 ~Q0 V
1514ecelqsi 6071 . . . . 5 (⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩ (𝜔 × N) → [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
1612, 13, 153syl 17 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
176, 16eqeltrd 2096 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
181, 3, 5, 172ecoptocl 6105 . 2 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
1918, 1syl6eleqr 2113 1 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1228   wcel 1374  cop 3353  𝜔com 4240   × cxp 4270  (class class class)co 5436   ·𝑜 comu 5914  [cec 6015   / cqs 6016  Ncnpi 6130   ·N cmi 6132   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145   ·Q0 cmq0 6148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-mq0 6283
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6356
  Copyright terms: Public domain W3C validator