Theorem mulclnq0 6550

Description: Closure of multiplication on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem mulclnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 6523	. . 3 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 5519	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3	2	eleq1d 2106	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4		oveq2 5520	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
5	4	eleq1d 2106	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6		mulnnnq0 6548	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
7		nnmcl 6060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
8		mulpiord 6415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑤))
9		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
10	8, 9	eqeltrrd 2115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
11	7, 10	anim12i 321	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N))
12	11	an4s 522	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N))
13		opelxpi 4376	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
14		enq0ex 6537	. . . . . 6 ⊢ ~Q0 ∈ V
15	14	ecelqsi 6160	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
16	12, 13, 15	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
17	6, 16	eqeltrd 2114	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
18	1, 3, 5, 17	2ecoptocl 6194	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
19	18, 1	syl6eleqr 2131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378  ωcom 4313   × cxp 4343  (class class class)co 5512   ·_𝑜 comu 5999  [cec 6104   / cqs 6105  Ncnpi 6370   ·_N cmi 6372   ~_Q0 ceq0 6384  Q₀cnq0 6385   ·_Q0 cmq0 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-mq0 6526

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6600