ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 Structured version   GIF version

Theorem nqnq0 6296
Description: A positive fraction is a non-negative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0 QQ0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6207 . . . . 5 Q = ((N × N) / ~Q )
21eleq2i 2086 . . . 4 (y Qy ((N × N) / ~Q ))
3 vex 2538 . . . . 5 y V
43elqs 6068 . . . 4 (y ((N × N) / ~Q ) ↔ x (N × N)y = [x] ~Q )
5 df-rex 2290 . . . 4 (x (N × N)y = [x] ~Qx(x (N × N) y = [x] ~Q ))
62, 4, 53bitri 195 . . 3 (y Qx(x (N × N) y = [x] ~Q ))
7 elxpi 4288 . . . . . . 7 (x (N × N) → uv(x = ⟨u, v (u N v N)))
8 nqnq0pi 6293 . . . . . . . . . . 11 ((u N v N) → [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q )
98adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q )
10 eceq1 6052 . . . . . . . . . . . 12 (x = ⟨u, v⟩ → [x] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q0 )
11 eceq1 6052 . . . . . . . . . . . 12 (x = ⟨u, v⟩ → [x] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q )
1210, 11eqeq12d 2036 . . . . . . . . . . 11 (x = ⟨u, v⟩ → ([x] ~Q0 = [x] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q ))
1312adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → ([x] ~Q0 = [x] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q ))
149, 13mpbird 156 . . . . . . . . 9 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q0 = [x] ~Q )
15 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . 13 (u Nu 𝜔)
16 opelxpi 4303 . . . . . . . . . . . . 13 ((u 𝜔 v N) → ⟨u, v (𝜔 × N))
1715, 16sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((u N v N) → ⟨u, v (𝜔 × N))
1817adantl 262 . . . . . . . . . . 11 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → ⟨u, v (𝜔 × N))
19 eleq1 2082 . . . . . . . . . . . 12 (x = ⟨u, v⟩ → (x (𝜔 × N) ↔ ⟨u, v (𝜔 × N)))
2019adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → (x (𝜔 × N) ↔ ⟨u, v (𝜔 × N)))
2118, 20mpbird 156 . . . . . . . . . 10 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → x (𝜔 × N))
22 enq0ex 6294 . . . . . . . . . . . 12 ~Q0 V
2322ecelqsi 6071 . . . . . . . . . . 11 (x (𝜔 × N) → [x] ~Q0 ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
24 df-nq0 6280 . . . . . . . . . . 11 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2523, 24syl6eleqr 2113 . . . . . . . . . 10 (x (𝜔 × N) → [x] ~Q0 Q0)
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q0 Q0)
2714, 26eqeltrrd 2097 . . . . . . . 8 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q Q0)
2827exlimivv 1758 . . . . . . 7 (uv(x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q Q0)
297, 28syl 14 . . . . . 6 (x (N × N) → [x] ~Q Q0)
3029adantr 261 . . . . 5 ((x (N × N) y = [x] ~Q ) → [x] ~Q Q0)
31 eleq1 2082 . . . . . 6 (y = [x] ~Q → (y Q0 ↔ [x] ~Q Q0))
3231adantl 262 . . . . 5 ((x (N × N) y = [x] ~Q ) → (y Q0 ↔ [x] ~Q Q0))
3330, 32mpbird 156 . . . 4 ((x (N × N) y = [x] ~Q ) → y Q0)
3433exlimiv 1471 . . 3 (x(x (N × N) y = [x] ~Q ) → y Q0)
356, 34sylbi 114 . 2 (y Qy Q0)
3635ssriv 2926 1 QQ0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wrex 2285  wss 2894  cop 3353  𝜔com 4240   × cxp 4270  [cec 6015   / cqs 6016  Ncnpi 6130   ~Q ceq 6137  Qcnq 6138   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-enq0 6279  df-nq0 6280
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6354  prarloclemcalc  6356
  Copyright terms: Public domain W3C validator