ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 Structured version   GIF version

Theorem nqnq0 6423
Description: A positive fraction is a non-negative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0 QQ0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . . . . 5 Q = ((N × N) / ~Q )
21eleq2i 2101 . . . 4 (y Qy ((N × N) / ~Q ))
3 vex 2554 . . . . 5 y V
43elqs 6093 . . . 4 (y ((N × N) / ~Q ) ↔ x (N × N)y = [x] ~Q )
5 df-rex 2306 . . . 4 (x (N × N)y = [x] ~Qx(x (N × N) y = [x] ~Q ))
62, 4, 53bitri 195 . . 3 (y Qx(x (N × N) y = [x] ~Q ))
7 elxpi 4304 . . . . . . 7 (x (N × N) → uv(x = ⟨u, v (u N v N)))
8 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . 11 ((u N v N) → [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q )
98adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q )
10 eceq1 6077 . . . . . . . . . . . 12 (x = ⟨u, v⟩ → [x] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q0 )
11 eceq1 6077 . . . . . . . . . . . 12 (x = ⟨u, v⟩ → [x] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q )
1210, 11eqeq12d 2051 . . . . . . . . . . 11 (x = ⟨u, v⟩ → ([x] ~Q0 = [x] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q ))
1312adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → ([x] ~Q0 = [x] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q0 = [⟨u, v⟩] ~Q ))
149, 13mpbird 156 . . . . . . . . 9 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q0 = [x] ~Q )
15 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . 13 (u Nu 𝜔)
16 opelxpi 4319 . . . . . . . . . . . . 13 ((u 𝜔 v N) → ⟨u, v (𝜔 × N))
1715, 16sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((u N v N) → ⟨u, v (𝜔 × N))
1817adantl 262 . . . . . . . . . . 11 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → ⟨u, v (𝜔 × N))
19 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12 (x = ⟨u, v⟩ → (x (𝜔 × N) ↔ ⟨u, v (𝜔 × N)))
2019adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → (x (𝜔 × N) ↔ ⟨u, v (𝜔 × N)))
2118, 20mpbird 156 . . . . . . . . . 10 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → x (𝜔 × N))
22 enq0ex 6421 . . . . . . . . . . . 12 ~Q0 V
2322ecelqsi 6096 . . . . . . . . . . 11 (x (𝜔 × N) → [x] ~Q0 ((𝜔 × N) / ~Q0 ))
24 df-nq0 6407 . . . . . . . . . . 11 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2523, 24syl6eleqr 2128 . . . . . . . . . 10 (x (𝜔 × N) → [x] ~Q0 Q0)
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q0 Q0)
2714, 26eqeltrrd 2112 . . . . . . . 8 ((x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q Q0)
2827exlimivv 1773 . . . . . . 7 (uv(x = ⟨u, v (u N v N)) → [x] ~Q Q0)
297, 28syl 14 . . . . . 6 (x (N × N) → [x] ~Q Q0)
3029adantr 261 . . . . 5 ((x (N × N) y = [x] ~Q ) → [x] ~Q Q0)
31 eleq1 2097 . . . . . 6 (y = [x] ~Q → (y Q0 ↔ [x] ~Q Q0))
3231adantl 262 . . . . 5 ((x (N × N) y = [x] ~Q ) → (y Q0 ↔ [x] ~Q Q0))
3330, 32mpbird 156 . . . 4 ((x (N × N) y = [x] ~Q ) → y Q0)
3433exlimiv 1486 . . 3 (x(x (N × N) y = [x] ~Q ) → y Q0)
356, 34sylbi 114 . 2 (y Qy Q0)
3635ssriv 2943 1 QQ0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301  wss 2911  cop 3370  𝜔com 4256   × cxp 4286  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-enq0 6406  df-nq0 6407
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6482  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator