ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 Unicode version

Theorem nqnq0 6424
Description: A positive fraction is a non-negative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0  Q.  C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . . . . 5  Q.  N.  X.  N. /.  ~Q
21eleq2i 2101 . . . 4  Q.  N.  X.  N. /.  ~Q
3 vex 2554 . . . . 5 
_V
43elqs 6093 . . . 4  N. 
X.  N. /.  ~Q  N.  X.  N.  ~Q
5 df-rex 2306 . . . 4  N.  X.  N.  ~Q  N.  X.  N.  ~Q
62, 4, 53bitri 195 . . 3  Q.  N.  X.  N.  ~Q
7 elxpi 4304 . . . . . . 7  N.  X.  N. 
<. ,  >.  N.  N.
8 nqnq0pi 6421 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  <. , 
>. ~Q0  <. , 
>.  ~Q
98adantl 262 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  N.  N.  <. , 
>. ~Q0  <. , 
>.  ~Q
10 eceq1 6077 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
11 eceq1 6077 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >.  ~Q
1210, 11eqeq12d 2051 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>. ~Q0  ~Q  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
1312adantr 261 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  ~Q  <. , 
>. ~Q0  <. , 
>.  ~Q
149, 13mpbird 156 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  ~Q
15 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . 13  N.  om
16 opelxpi 4319 . . . . . . . . . . . . 13  om  N.  <. , 
>.  om  X.  N.
1715, 16sylan 267 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  <. , 
>.  om  X.  N.
1817adantl 262 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  N.  N.  <. ,  >.  om  X.  N.
19 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  om  X.  N. 
<. ,  >.  om  X.  N.
2019adantr 261 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  N.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  om  X.  N.
2118, 20mpbird 156 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  N.  N.  om  X.  N.
22 enq0ex 6422 . . . . . . . . . . . 12 ~Q0  _V
2322ecelqsi 6096 . . . . . . . . . . 11  om  X.  N. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0
24 df-nq0 6408 . . . . . . . . . . 11 Q0  om  X.  N. /. ~Q0
2523, 24syl6eleqr 2128 . . . . . . . . . 10  om  X.  N. ~Q0 Q0
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  N.  N. ~Q0 Q0
2714, 26eqeltrrd 2112 . . . . . . . 8  <. ,  >.  N.  N.  ~Q Q0
2827exlimivv 1773 . . . . . . 7  <. , 
>. 
N.  N.  ~Q Q0
297, 28syl 14 . . . . . 6  N.  X.  N.  ~Q Q0
3029adantr 261 . . . . 5  N. 
X.  N.  ~Q  ~Q Q0
31 eleq1 2097 . . . . . 6  ~Q Q0  ~Q Q0
3231adantl 262 . . . . 5  N. 
X.  N.  ~Q Q0  ~Q Q0
3330, 32mpbird 156 . . . 4  N. 
X.  N.  ~Q Q0
3433exlimiv 1486 . . 3  N.  X.  N.  ~Q Q0
356, 34sylbi 114 . 2  Q. Q0
3635ssriv 2943 1  Q.  C_ Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301    C_ wss 2911   <.cop 3370   omcom 4256    X. cxp 4286  cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-enq0 6407  df-nq0 6408
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6483  prarloclemcalc  6485
  Copyright terms: Public domain W3C validator