Theorem elxpi 4304

Description: Membership in a cross product. Uses fewer axioms than elxp 4305. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxpi	|- (A e. (B X. C) -> E.xE.y(A = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x, C,y

Proof of Theorem elxpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2043	. . . . . 6 |- (z = A -> (z = <.x , y >. <-> A = <.x , y >.))
2	1	anbi1d 438	. . . . 5 |- (z = A -> ((z = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C))))
3	2	2exbidv 1745	. . . 4 |- (z = A -> (E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.xE.y(A = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C))))
4	3	elabg 2682	. . 3 |- (A e. {z | E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)) } -> (A e. {z | E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)) } <-> E.xE.y(A = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C))))
5	4	ibi 165	. 2 |- (A e. {z | E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)) } -> E.xE.y(A = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)))
6		df-xp 4294	. . 3 |- (B X. C) = { <.x , y >. | (x e. B /\ y e. C) }
7		df-opab 3810	. . 3 |- { <.x , y >. | (x e. B /\ y e. C) } = {z | E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)) }
8	6, 7	eqtri 2057	. 2 |- (B X. C) = {z | E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)) }
9	5, 8	eleq2s 2129	1 |- (A e. (B X. C) -> E.xE.y(A = <.x , y >. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   {cab 2023   <.cop 3370   {copab 3808   X. cxp 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-opab 3810  df-xp 4294

This theorem is referenced by:  xpsspw  4393  dmaddpqlem  6361  nqpi  6362  enq0ref  6416  nqnq0  6424  nq0nn  6425  axaddcl  6750  axmulcl  6752