ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axaddcl Unicode version

Theorem axaddcl 6940
Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addcl 6980 be used later. Instead, in most cases use addcl 7006. (Contributed by NM, 14-Jun-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem axaddcl
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4361 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
2 df-c 6895 . . . . 5  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
31, 2eleq2s 2132 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
4 elxpi 4361 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
54, 2eleq2s 2132 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
63, 5anim12i 321 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) ) )
7 ee4anv 1809 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  <->  ( E. x E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. ) )  /\  E. z E. w ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
86, 7sylibr 137 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
9 simpll 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  A  =  <. x ,  y >. )
10 simprl 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  B  =  <. z ,  w >. )
119, 10oveq12d 5530 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  =  ( <.
x ,  y >.  +  <. z ,  w >. ) )
12 addcnsr 6910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  y >.  +  <. z ,  w >. )  =  <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w )
>. )
1312ad2ant2l 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  +  <. z ,  w >. )  =  <. (
x  +R  z ) ,  ( y  +R  w ) >. )
1411, 13eqtrd 2072 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  =  <. (
x  +R  z ) ,  ( y  +R  w ) >. )
15 addclsr 6838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  +R  z
)  e.  R. )
1615ad2ant2r 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( x  +R  z )  e.  R. )
17 addclsr 6838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  +R  w
)  e.  R. )
1817ad2ant2l 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( y  +R  w )  e.  R. )
19 opelxpi 4376 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  +R  z
)  e.  R.  /\  ( y  +R  w
)  e.  R. )  -> 
<. ( x  +R  z
) ,  ( y  +R  w ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
2016, 18, 19syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
2120, 2syl6eleqr 2131 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w
) >.  e.  CC )
2221ad2ant2l 477 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  <. ( x  +R  z
) ,  ( y  +R  w ) >.  e.  CC )
2314, 22eqeltrd 2114 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
2423exlimivv 1776 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
2524exlimivv 1776 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  +  B
)  e.  CC )
268, 25syl 14 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   <.cop 3378    X. cxp 4343  (class class class)co 5512   R.cnr 6395    +R cplr 6399   CCcc 6887    + caddc 6892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-c 6895  df-add 6900
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator